F
Ä
L
T
B
E
R
Ä
K
N
I
N
G
Finita elementprogram för
tredimensionella
fältberäkningar inom
elektrotekniken
A
R
grammet är avsett att lösa kan förberedas och beskrivas med hjälp av musen,
och uppgiften kräver inga djupare kunskaper om FEM. Därför begränsas inte
programmet till FEM-specialister, utan
det kan utnyttjas av en betydligt vidare
användarkrets. MagNet är en enkel och
robust programvaruprodukt vars kommandon är rättframma och lätta att förstå.
Programmets möjligheter kan illustreras med uppgiften att beräkna strömvärmeförlusterna i de massiva komponenterna i ändpartiet av en turbogenerator.
Beräkningen är tredimensionell och alla
Finita elementmetoden (FEM) tillåter noggrann och snabb analys av
tre rumskomponenterna i det elektro-
elektriska, magnetiska och termiska fält i modeller som fortfarande be-
magnetiska fältet redovisas fullständigt:
finner sig på konstruktionsstadiet. Detta innebär att behovet av kost-
den radiella, den axiella och den tangen-
samma prototyper minskar, att svaga punkter i färdiga produkter lättare
tiella.
kan identifieras och att olika förbättringsmöjligheter kan analyseras till
låga kostnader.
Definition av problemet
P
Turbogeneratorer är så konstruerade att
maskiner, transformatorer och andra
det i båda ändarna av den aktiva delen,
funnits på marknaden sedan sextiotalet.
apparater med likströmmar och/eller
där själva energiomvandlingen sker, finns
Under årens lopp har programmen blivit
permanentmagneter
ett ändparti med statorhärvändar, rotor-
rogramvarupaket för FEM-analys har
•
virvel-
härvändar, rotorkapslar, anslutningskläm-
högt specialiserade företag har de eko-
strömsfördelning och förlustberäkning
mor etc. Den aktiva delen består till stör-
nomiska resurser som fordras för att ut-
i linjära och ickelinjära ledande medier
sta delen av statorplåtar, som t ex den
veckla dem. Företagsinterna FEM-pro-
vid växelströmsmatning
stator till en turbogenerator från ABB
så komplexa och så kraftfulla att endast
Tidsharmoniska
beräkningar:
gram står sig sällan i konkurrensen med
Ett av dessa program, vilket tillåter såväl
som visas i 2 . I bakgrunden syns sta-
specialistprogram, och de trängs i allt
två- som tredimensionella lösningar på
torplåtpaketet och i förgrunden stator-
större utsträckning ut av kommersiella
de nämnda problemen, är MagNet från
härvändarna med stavar, överkopplingar
produkter.
det kanadensiska företaget Infolytica.
och anslutningsklämmor.
FEM-programvara för elektroteknikens
Programmet används redan sedan några
I en turbogenerators ändpartier finns
behov erbjuds i dag av flera företag. Ge-
år inom ABB Kraftwerke AG i Mannheim.
komponenter som visserligen inte spelar
mensamt för dem alla är att de löser sina
Programmet fungerar utan problem på
någon aktiv roll i den elektromekaniska
uppgifter med hjälp av Maxwells differen-
flera arbetsstationer och persondatorer
energiomvandlingen, men som är väl så
tialekvationer. De problem som kan lösas
och erbjuder användaren ett lätthanterligt
viktiga som magnetplåtarna och koppar-
med denna typ av programvarupaket kan
gränssnitt
ledarna i generatorns aktiva del. Kom-
1 . Det problem som pro-
indelas i följande kategorier:
ponenternas inverkan på maskinens drift-
•
Elektrisk fältfördelning: likströms- och
egenskaper och verkningsgrad är för-
potentialfördelning i massiva konstruk-
sumbar, men av största betydelse för
tionselement
dess tillförlitlighet och tillgänglighet. Av
Elektrostatisk fältfördelning: fältstyrke-
konstruktionsmässiga skäl, som t ex håll-
•
•
och kapacitansberäkningar, framför allt
Dr. Vlado Ostovic
fasthetsskäl, eller för att tillåta kostnads-
inom högspänningstekniken
Karl-Heinz Soyk
effektiv produktion, består vissa av dessa
Magnetostatisk fältfördelning: beräk-
ABB Kraftwerke AG
komponenter, som t ex härvändsförbind-
ning av magnetiska kretsar i elektriska
ningar, överkopplingar etc, av massiv
ABB Tidning
6/7
1996
29
F
Ä
L
T
B
E
R
Ä
K
N
I
N
G
A
R
cerade. Varje stator- och rotorstav beskriver en kurva i rummet vars form inte
kan reduceras till en tvådimensionell representation. Eftersom stavarna i turbogeneratorns aktiva del alltid löper parallellt med maskinaxeln, kan magnetiseringen där beskrivas på ett mycket enkelt
sätt. I ändpartiet däremot finns det inga
tvärsnitt som passeras vinkelrätt av alla
stavar samtidigt. Därför måste magnetiseringen beräknas separat och i tre dimensioner för varje enskild stator- och
rotorstav.
Detta görs i FEM-programmet med så
kallade immateriella spolar i förbehandlingsfasen. På samma sätt som det geometriska nätet med maskinmodellens alla
Användargränssnittet i programmen MagNet från Infolytica
1
mått och de olika materialens elektriska
och magnetiska egenskaper måste även
spolnätet definieras. Spolnätet utgör bä-
koppar. Även om det elektromagnetiska
Med andra ord är strömtäthetsfördelning-
rare för magnetiseringen i varje modell.
fältet i generatorns ändparti har betydligt
en – och följaktligen även förlustfördel-
Spolarna i nätet kan placeras godtyckligt
lägre amplitud än i den aktiva delen kan
ningen inuti ledaren – inte bara beroende
i maskinmodellen, men de måste börja
avsevärd förlusteffekt induceras i de
av ledargeometrin utan även av ström-
och sluta vid modellens geometriska
massiva komponenterna i stora maskiner.
mens frekvens och av de elektromagne-
gränser. Till varje stator- och rotorstav
Orsaken till detta är att härvändsförbind-
tiska fält som ledaren utsätts för.
hör en spole. Strömmens reala och ima-
ningarna och överkopplingarna i stora
Det elektromagnetiska fältet i en elekt-
ginära komponenter i en spole kan defi-
maskiner har en dimension som ligger
risk maskins ändparti har en radiell, en
nieras oberoende av övriga strömmar i
nära det så kallade inträngningsdjupet σ.
δ=
2
µσω
ω Vinkelfrekvens för det elektromagnetiska fältet
axiell och en tangentiell komponent. Fäl-
modellen, så att magnetiseringen kan de-
tet genereras av strömmarna i stator och
finieras noggrant. Det på detta sätt defi-
rotor. Eftersom de strömförande ledarna i
nierade elektromagnetiska fältet i genera-
stator och rotor är geometriskt komplexa,
torns ändparti roterar med synkront varv-
liksom är formen hos en turbogenerators
tal, precis som det roterande fältet i den
ändparti, kan det magnetiska fältet inte
aktiva delen av maskinen.
σ Mediets elektriska ledningsförmåga
beskrivas analytiskt utan måste beräknas
µ Mediets permeabilitet
med numeriska metoder. Resultatet av en
len, i vilken även strömförträngnings-
sådan beräkning för massiva komponen-
effekterna beräknas, indelas av FEM-pro-
Den fullständiga geometriska model-
hjälpstorhet
ter i ändpartiet av en luftkyld turboge-
grammet
som gör det möjligt att jämföra egenska-
nerator från ABB beskrivs i texten som
Dessa tredimensionella kroppar motsva-
perna hos olika material vid olika frekven-
följer.
rar trianglarna i en tvådimensionell lös-
Inträngningsdjupet
är
en
små
tetraediska
enheter.
ning. De konstruktionselement i model-
ser. Inträngningsdjupet är avgörande för
len, för vilka förlusterna beräknas, inne-
förlusterna eftersom 90 % av strömvärmeförlusterna uppstår i ett skikt σ från le-
i
Problembeskrivning
håller fler tetraediska element än de ur
darens yta. För koppar uppgår inträng-
3 visar ett längssnitt genom ändpartiet
strömförträngningssynpunkt inaktiva de-
ningsdjupet vid 50 Hz till ca 10 mm, vilket
av en turbogenerator. I jämförelse med
larna (elektriskt icke ledande material), i
innebär att strömtätheten inte är likformig
den aktiva delen av generatorn, där alla
syfte att nå en högre beräkningsnog-
i ett tvärsnitt genom komponenter som är
stator- och rotorströmmar endast flyter
grannhet.
klart grövre än 10 mm, så som den skulle
parallellt med maskinens axel, är förhål-
vara om det vore frågan om likström.
landena i ändpartiet betydligt mer kompli-
30
ABB Tidning
6/7
1996
I programmets förbehandlingsfas definieras
problemets
geometri,
rådande
F
Statorn hos en luftkyld
turbogenerator från ABB
2
Schematiskt längssnitt
av en luftkyld turbogenerator
från ABB
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ä
L
T
B
E
R
Ä
K
N
I
1
N
G
A
R
2
3
6
7
4
5
8
9
Statorplåt
Tryckring
Överkopplingar
Statorstav
Härvändsförbindning
Rotorkropp
Rotorledare
Rotorkapsel
Rotoraxel
ABB Tidning
6/7
1996
31
F
Ä
L
T
B
E
R
Ä
K
N
I
N
G
A
R
randvillkor, materialens elektriska och
magnetiska egenskaper samt magnetiseringen.
Därefter inleds själva lösningsproceduren, för vilken olika lösningsmoduler kan
aktiveras. I detta fall väljs en lösningsmodul som hanterar de tidsharmoniska
problemen. Lösningsmodulen finns i fyra
storlekar: liten, medium, stor och mycket
stor. Vilken storlek som väljs beror på antalet element i modellen och på datorns
beräkningskapacitet. Eftersom problemet
är elektromagnetiskt linjärt, är det i lösningsfasen tillräckligt med en iterativ lösning av systemmatrisen, enligt metoden
med konjugerade gradienter, utan Newtonska iterationer. En typisk storlek på
matrisen i det linjära systemet med algebraiska ekvationer är ca 1 miljon gånger 1 miljon element. Ekvationssystemets
lösning anges i form av en magnetisk
vektorpotential i de elektriskt ledande
medierna samt den magnetiska skalärpotentialen i de elektriskt isolerande medierHärvändar i en turbogenerator.
Statorstavarna måste krökas på sådant sätt att avståndet
mellan stavarna alltid motsvarar isolationsavståndet.
4
na. En typisk tredimensionell beräkning
av strömvärmeförlusterna tar sju till tio
timmar i en arbetsstation med 128 MB
RAM.
När lösningen har konvergerat inleds
Immateriell spolmodell av två stavar och en härvändsförbindning
5
efterbehandlingsfasen. Här räknas de
magnetiska skalära och vektoriella potentialerna om till konventionella storheter,
som strömtätheter, induktans och förluster. Resultaten kan redovisas numeriskt i
form av tabeller, som tvådimensionella
iso-diagram eller som tredimensionella
kurvor och ytor i flerfärgsdiagram.
Modellering av
magnetiseringen
Statorstavarna i en generators ändpartier
måste böjas på sådant sätt att avståndet
mellan stavarna alltid motsvarar isolationsavståndet 4 . Statorstavarna formas
i speciella böjningsmaskiner. Ett inom
ABB utvecklat program levererar geometriska data för böjningsverktyget, data
som även utgör indata för programmet
32
ABB Tidning
6/7
1996
F
Immateriella spolar
som bildar fem zoner i en
statorlindning
Ä
L
T
B
E
R
Ä
K
N
I
N
G
A
R
6
MagNet som modellerar stavarna. Med
hjälp av programmet för den aktuella turbogeneratorn genereras en tredimensionell spolmodell av två stavar och en härvändsförbindning mellan dem 5 . I bakgrunden syns spolarnas raka partier.
Båda spolarna har böjts framåt och i förgrunden, där de ligger nära varandra, har
övergången från den ena spolen till den
andra framställts på ett förenklat sätt
med
hjälp
av
härvändsförbindningen.
Förenklingen inverkar inte på beräkningens noggrannhet. Som tidigare nämnts är
spolarna immateriella, och strömtäthetsfördelningen i modellens materiella delar
bestäms endast i beräkningens första
steg. Vid lösning av matrisen i den algebraiska ekvationens linjära system omfördelas ändå spolströmmarna i alla
elektriskt förbundna delar som spolarna
genomlöper.
6 visar en spolmodell av generatorns
statorhärvändar. För att ge en bättre
överblick har spolarna i en sektor motsvarande 1/6 av omkretsen inte ritats in.
Strömmarna flyter parallellt med maskinens omkrets. Strömmarna i det övre
spolskiktet flyter i motsatt riktning jämfört
med dem i det undre spolskiktet. Varje
zon motsvarar 1/6 av omkretsen.
Som framgår av spolmodellen för rotorhärvändarna
7
är rotorlindningens
geometri betydligt enklare än statorlindningens.
8 visar den fullständiga konstruktio-
nen hos statorhärvändar och rotorlindningshuvuden. I FEM-programmet definieras för varje spole belopp och fasvin-
Rotorspolar – geometrin
är här betydligt enklare än för
statorspolarna.
7
ABB Tidning
6/7
1996
33
F
Ä
L
T
B
E
R
Ä
K
N
I
N
G
A
R
Stator- och rotorspolar i en
turbogenerator
8
kel för strömmen. I sammanhanget bör
noteras att likströmmen i den roterande
rotorn i denna modell representeras som
en växelström.
Tredimensionell förlustberäkning
i en härvändsförbindning
Förlustberäkning med FEM är en komplicerad operation. Till att börja med krävs
en geometriskt korrekt modell, baserad
på ritningar och övriga konstruktionsunderlag. Därefter definieras de elektromagnetiska randvillkoren i syfte att begränsa beräkningsområdet i rummet. Vidare måste de ingående materialens
elektriska och magnetiska egenskaper
fastställas och magnetiseringen bestämmas. Eftersom det lätt kan insmyga sig
fel vid beskrivningen av problemet, kan
det mycket väl hända att dagens robusta
finita elementprogram hittar en konvergerande lösning som bygger på felaktiga indata och som därmed är falsk i fysikalisk
mening. Därför måste lösningen alltid
kontrolleras med utgångspunkt från enkla
I Ι Σ,o I
fysikaliska resonemang, vilka måste fungera även i de mest komplicerade model-
Ι
Φe
Ι
ler. Ett exempel: resultaten från en analogibetraktelse illustreras i 9 . Figuren visar
den kvalitativa strömtäthetsfördelningen i
I Ι Σ,o I
två intill varandra liggande ledare. Om ledarströmmarna flyter i samma riktning
Φe
9a kommer strömmen i varje ledare att
flyta så långt från ledarnas centrum som
I Ι Σ,u I
–Ι
Ι
I Ι Σ,u I
a
34
ABB Tidning
b
6/7
1996
Kvalitativ framställning
av strömtäthetsfördelningen
i två parallella ledare i
vilka strömmen flyter i samma
riktning (a) och i motsatta
riktningar (b)
I
Ström
Φe Av strömmen inducerat flöde
9
F
Ä
L
T
B
E
R
Ä
K
N
I
N
G
A
R
Ι
Φ
11
Tredimensionell representation av
härvändsförbindning och stavändar inför
beräkning med finita elementmetoden
Strömtäthetsfördelning på
härvändsförbindningens yta
möjligt. Om strömmarna i stället flyter i
Härvändsförbindningar
av fältets rotationsriktning är strömtät-
Stavändar och en härvändsförbindning (i bakgrunden)
10
12
motsatta riktningar 9b koncentreras fäl-
Den geometriska modell av en härvänds-
hetsfördelningen inte spegelsymmetrisk i
tet mellan ledarna och därför koncentre-
förbindning som framställts av FEM-pro-
det radiella symmetriplanet. Samma ef-
ras även de inducerade strömmarna vid
grammet visas i 11 . De beräkningar som
fekt 13 visar sig då vi betraktar induk-
ledarnas insidor.
utförts för modellen visar att strömtät-
tionsfördelningen för samma geometri
Stavändar och härvändsförbindningar
hetsfördelningen och det därtill hörande
som illustreras av 9 . Induktionen, med
för vilka förlusterna beräknas skisseras i
förlusterna är beroende av följande fakto-
ett typiskt värde på ca 50 mT, är på
10 . Eftersom strömmarna i stavändarna,
rer:
grund av fältets rotationsriktning starkare
vilka är elektriskt förbundna med varand-
•
Strömmens frekvens samt härvänds-
på den ena sidan av härvändsförbbind-
förbindningens geometri och mått
ningen och stavarna än på den andra
Amplituden hos strömmarna i näralig-
sidan.
ra via en härvändsförbindning, flyter så
som visas i 9b , kan den fysikaliskt kor-
•
rekta lösningen endast vara den som
uppvisar en strömkoncentration längs le-
Strömtäthetsfördelningen i ett radial-
gande stavar
•
darnas och förbindningens insidor. Skulle
Amplituden hos strömmarna i andra
axiellt plan, ett (r,z)-plan, i mitten av för-
delar av statorn och i rotorn
bindningen och stavarna illustreras av 14 .
lösningen i stället visa att strömmen i mo-
•
dellen flyter längs ledarnas och förbind-
Resultaten
ningens utsidor betyder det att problemet
av
inte hade definierats korrekt och att FEM
nedan.
inte kan leverera några tillförlitliga resul-
härvändsförbindningarnas och stavarnas
lödda delarna av stavarna och följaktligen
tat.
ytor 12 visar att strömtäthetsamplituden
även i härvändsförbindningen fördelar sig
på insidan av slingan undre stav – för-
strömtätheten i enlighet med Maxwells
bindning – övre stav är den högsta. Med
ekvationer alltid så att den största delen
I den övre stavens ände (uppe till höger)
Härvändfältets rotationsriktning
ca 8
av
en
typisk
strömtäthetsfördelning
beräkning
presenteras
Strömtäthetsfördelningen
A/mm2
på
är den klart högre än ström-
täthetsamplituden vid likström. På grund
och i den undre stavens ände (nere till
höger), där delledarna ännu är roeblade,
är strömtätheten likformigt fördelad. I de
av strömmen flyter inuti förbindningen.
Tendensen är tydligt synlig i 14 .
ABB Tidning
6/7
1996
35
F
Flödesfördelning på härvändsför- 13
bindningens yta
Ä
L
T
B
E
R
Ä
K
N
I
N
Strömtäthetsfördelning
i ett (r,z)-plan inom härvändsförbindning och stavändar
G
14
A
R
Strömtäthetsfördelning
i ett (r,γ )-plan inom härvändsförbindning och stavändar
15
Strömtätheten i ett radialtangentiellt
hjälp av programvara som efterbildar de
schweiziska Birr FEM-programmet Mag-
plan, ett (r, γ )-plan, inuti härvändsförbind-
komplicerade förhållanden som råder i
Net som tillåter tredimensionell beräkning
ningen illustreras av 15 . Stavarna ligger
generatorns aktiva del och kring härvän-
av strömförträngningsförluster med avse-
vinkelrätt mot detta plan. Det framstår tyd-
darna. Sedan några år utnyttjar ABB
ende på såväl internt inducerade som ex-
ligt att det tangentiella förloppet hos ström-
Kraftwerke i tyska Mannheim och i
terna strömmar.
tätheten är starkt beroende av rotationsriktningen. Det framgår av strömtäthetsamplituden i tvärsnittet, vilken är högre på
ovansidan än på undersidan. Förloppet har
en exponentiell form med maximum på
Referenser
Ytterligare användningsområden för FEM-programmet
MagNet
ytorna och minimum i mitten.
Sammanfattning
[2] Tegopoulos, K.: Eddy currents in linear conducting media. Elsevier, 1985.
ar av:
[3] Bewley, L. K.: Two dimensional fields
•
in electrical engineering. Dover Publica-
Magnetostatiska fält och krafter,
t ex i motorer med permanentmag-
mer allt närmare de fysikaliska gränser
neter
magnetiska och mekaniska egenskaper.
•
•
ningsändamål, fordras goda matematiska
generatormodeller som med stor tillförlitlighet återger reella förhållanden. Dessa
matematiska modeller genereras med
36
ABB Tidning
6/7
1996
Elektrostatisk fältfördelning i isolatorer, transformatorlindningar etc
Eftersom det knappast är rimligt att
bygga en generatorprototyp för prov-
Montreal, 1995.
Två- och tredimensionella beräkning-
Utnyttjandegraden för generatorer kom-
som bestäms av materialens elektriska,
[1] MagNet Reference Manual. Infolytica,
•
tions, Inc., 1968.
Författarnas adress
Dr. Vlado Ostovic
Likströmsfördelning i geometriskt
Karl-Heinz Soyk
godtyckligt formade ledare
ABB Kraftwerke AG
Fältet som funktion av tiden i olin-
Postfach 100 351
jära magnetiska strukturer
D-68128 Mannheim
Fax: +49 (0) 621/381-3711
