“Strövtåg i matematikens värld”
Problemlapp 10. Perfekta tal
1. Ett tal som är summan av alla sina äkta delare (dvs. med undantag av talet självt) säges vara
perfekt. Så är 6 = 1 + 2 + 3 ett sådant tal - vilket är nästa?
2. a) Visa att en potens av 3 aldrig kan vara ett perfekt tal.
b) Visa mer allmänt att om p är ett primtal så kan inte talet pn vara perfekt.
3. Talet 6 har delarna 1, 2, 3 och 6 och vi har
1 1 1 1
+ + + = 2.
1 2 3 6
Visa att summan av de inverterade värdena av delarna till ett perfekt tal alltid blir 2, samt
att också omvändningen gäller.
4. Visa (Euklides) att om 2n − 1 är ett primtal, så är talet 2n−1 (2n − 1)(∗) ett perfekt tal.
5. Mycket senare (ca 1740) visade Euler att alla jämna perfekta tal har formen (∗), vi skall nu i
några steg ge ett bevis. Definiera en aritmetisk funktion S(n) som summan av alla delare till
n. Då är n perfekt om och endast om S(n) = 2n.
k+1
a) Visa att om n = pk , där k är ett primtal, så är S(n) = p p−1−1 .
b) Visa att ett perfekt tal måste innehålla minst två olika primfaktorer.
c) Visa att om n = pk11 pk22 ...pkmm så är
S(n) =
m
Y
pki +1 − 1
i
i=1
pi − 1
=
pk11 +1 − 1 pk22 +1 − 1
pkm +1 − 1
·
· ... · m
.
p1 − 1
p2 − 1
pm − 1
d) Låt nu a = 2n−1 u, med n > 1, u udda, vara ett jämnt, perfekt tal. Visa först att
S(a) = (2n − 1)S(u) samt att detta medför att S(u) = u + 2nu−1 .
e) Visa nu att då S(u) är summan av u och en äkta delare till u måste u vara primtal. Vi
har nu bevisat Eulers resultat. Eller hur...?
6. Ett tal är produktperfekt om det är produkten av alla sina äkta delare. Så är 6 aktuellt igen
eftersom 6 = 2 · 3.
a) Bestäm alla produktperfekta tal mindre än 50.
b) Fundera ut hur man kan karakterisera alla produktperfekta tal.
7. Två tal säges vara vänskapliga om de båda är summan av det andra talets äkta delare (ett
perfekt tal är alltså vän till sig själv).
a) Visa att 220 och 284 är vänskapliga.
b) Visa Thabit ibn Kurrahs regel: om talen h = 3 · 2n − 1, s = 3 · 2n−1 − 1 och t = 32 · 22n−1 − 1
är primtal så är 2n ht och 2n s vänskapliga.
Gunnar
