tentaplugg.nu
av studenter för studenter
Kurskod
M0030M
Kursnamn
Linjär algebra och integralkalkyl
Datum
2013-12-07
Material
Sammanfattning
Kursexaminator
Betygsgränser
Tentamenspoäng
Övrig kommentar
Uppladdad av Johanna Hamne
Linjär
Algebra,
Analys
och
Integraler
December 7
2013
System, vektorekvationer, linjärt oberoende, matrisoperationer,
substitutionsmetoden, Bevis m.m Med reservation för
tryckfelsnissar….
M0030M
Contents
Elementära Integraler ......................................................................................................................... 4
Integraler............................................................................................................................................ 5
Summor .......................................................................................................................................... 5
Areor .............................................................................................................................................. 5
Definit integral ................................................................................................................................ 6
Egenskaper hos den definita integralen........................................................................................... 6
Integralkalkylens fundamentalsats ...................................................................................................... 7
Sätt att lösa integraler på .................................................................................................................... 8
I.
Substitutionsmetoden ............................................................................................................. 8
II.
Partiell integration .................................................................................................................. 9
III.
Integraler av rationella funktioner ..................................................................................... 10
IV.
Improper integrals ............................................................................................................. 11
Areor av plana regioner ................................................................................................................ 12
Rotationer ........................................................................................................................................ 13
Cylindriska skal ............................................................................................................................. 13
Volymer ........................................................................................................................................ 14
Längd av en kurva ............................................................................................................................. 14
Linjär Algebra.................................................................................................................................... 15
System av linjära ekvationer...................................................................................................... 15
Tentatal .................................................................................................................................... 15
Radreduktion och Echelon form(trappstegsmatris) ....................................................................... 16
Vektorekvationer ...................................................................................................................... 16
Ax=b ............................................................................................................................................. 16
Lösningsmängd av linjära system .................................................................................................. 17
Linjärt oberoende ............................................................................................................................. 17
Linjära transformationer ................................................................................................................... 19
Matristransformationer ................................................................................................................ 19
Definition .................................................................................................................................. 19
Rotationer .................................................................................................................................... 20
Projektioner .................................................................................................................................. 20
Matrisen av en linjär transformation ............................................................................................. 21
Matrisoperationer ............................................................................................................................ 21
Invers av en matris........................................................................................................................ 22
2
Determinanter .................................................................................................................................. 23
Cramer’s rule ................................................................................................................................ 24
Två plan som skär varann .............................................................................................................. 26
Distanser .......................................................................................................................................... 27
Finn planets ekvation från punkter................................................................................................ 27
Avstånd från punkt till plan ........................................................................................................... 27
Distans mellan punkt och linje ...................................................................................................... 28
Planets ekvation från punkter och linje ......................................................................................... 29
3
Elementära Integraler
4
Integraler
Summor
I.
II.
III.
IV.
V.
Areor
Idén är att få en mindre fel när man vill räkna ut arean under en kurva, då man gör staplar av
rektanglar och räknar med.
Exempel: Finn arean avgränsad av funktionen
Höjden av den i:te rektangeln är
Figur 1 Calculus, sid. 296
Efter att ha kollat på tuben har jag nu insett att det finns ett lite annat tänk som jag tycker är lättare.
Oftast så har man något liknande, en yta som ska begränsas av till exempel funktionen
.
Definitionen ser ut enligt följande:
Då letar man först reda på
, vilket är i detta fall
Sedan är
5
Här kan alla summor av i ersättas av någon av summorna I-V ovan.
Definit integral
Approximation av arean under en kurva. Tänk att man har en funktion
mellan och . Man approximerar den genom att dela upp
längden mellan och i mindre delar,
där
och
är antalet
bitar. Sedan väljer man en punkt någonstans mellan och som får
kallas för . Således är punkten innan
. Mitt emellan dessa två
punkter kan vi finna . Då kan man approximera arean av rektangeln
för den i:te rektangeln
Genom att göra på liknande sätt för resterande sektioner av kurvan, och
sedan summera ihop dessa, så kan man få en bra approximation till
arean.
Figur 2 Källa Patrick JMT- The Definite
Integral- Understanding the
definition
För att få en bättre approximation, använder man fler rektanglar.
Egenskaper hos den definita integralen
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
Byt övre och undre gräns, är användbart i vissa fall.
Konstanter kan flyttas ut.
Behöver ju inte göra onödigt många steg...
(triangelolikheten för summor)
Då
är en udda(
Då
) funktion.
är en jämn(
6
) funktion.
Integralkalkylens fundamentalsats
Antag att funktionen
I.
Låt funktionen
är kontinuerlig på ett intervall innehållande punkten .
vara definierad på genom:
Då är F deriverbar på , och
II.
Om
är
där.
antiderivata av
är en antiderivata av
på , så att
på :
på , då för alla så får vi:
III. Bevisa genom att använda definitionen av derivata.
IV.
Om
Låt
och sätt
, då är
för någon konstant .
, så att
. Låt
7
för att få:
Sätt att lösa integraler på
I.
Substitutionsmetoden
Iden är att ersätta någonting som är lite krångligt med ett enklare uttryck. På så sätt kan man ersätta
och med hjälp av elementärfunktionerna lösa integralen. Substitutionsmetoden är integralversionen
av kedjeregeln. Om vi skriver om kedjeregeln,
Låt
. Då är
, på integralform:
, eller
Inte helt solklart kanske. Vad man letar efter är en sammansatt funktion, där man ser att ena delen
kan bli avsevärt lättare om man får derivera den. Ofta kan man även ersätta ”resten” om man trixar
lite med , som i exemplet nedan.
Om man har gränser, så tar man antingen och skriver om dem som funktion av , om vi till exempel
hade haft gränserna och i exemplet nedan så hade de istället blivit
, Integralen hade gått från 1 till 5 istället. MEN! Glöm inte att du då
måste lösa den för med dessa gränser.
Alternativet är att inte skriva ned dem under tiden du har substituerat och räknar med (kan skriva
gränserna ? och ? istället), och skriver med dem igen när du har ersatt med ursprungsuttrycket.
Exempel
http://www.youtube.com/watch?v=qclrs-1rpKI
http://www.youtube.com/watch?v=FJoyIAIC1Ag
8
II.
Partiell integration
Substitonsmetoden, fast med fler ersättningar. Att identifiera vilken del av funktionen som man kan
sätta som sitt , och vilken del som är lämplig som . Sedan ställer man upp den vid sidan av,
deriverar för att få fram , och integrerar fram . Sedan
kan man skriva om enligt formeln nedan, och
förhoppningsvis blir
lättare att hantera än
ursprungsfunktionen. Om inte, ersätt ännu en gång…
Exempel:
Figur 3 Integration by parts, Patrick JMT
http://www.youtube.com/watch?v=dqaDSlYdRcs
http://www.youtube.com/watch?v=zGGI4PkHzhI
9
III.
Integraler av rationella funktioner
Hur man delar upp integraler av typen
I.
Polynomdivision, Ex:
II.
Linjär nämnare;
:
III. Kvadratisk nämnare, tex:
IV.
Figur 4 Calculus
10
Exempel
AHA(Halvrisigt popband från Norge med one-hit-wonder ’Take on me’, alternativt byhåla i inre
Norrbotten)! Nämnaren går ju att faktorisera.
Partialbråk!
Vi vet från ursprungliga bråket att täljaren bara består av ett tal med , och inget utan :
Integralen kan skrivas om till det något lättare uttrycket:
Minns logaritmlagarna? Guess not…
http://www.youtube.com/watch?v=7cgOf3alK40
http://www.youtube.com/watch?v=ddvS319b-tQ
IV.
Improper integrals
Detta är när någon av gränserna är bökig. Till exempel när en av gränserna är
bestämma arean. Ex.
Då man har symmetriska fall, och ett område som går mellan
, och
.
http://www.youtube.com/watch?v=f6cGotvktxs
11
och man vill
, delar man upp fallet i två;
Areor av plana regioner
En operation man utfår för att få den totala arean; Man räknar
arean under x-axeln som positiv. Med andra ord: Integrera
absolutvärdet:
Exempel
Figur 5 Calculus sid. 324
Area begränsad av
Exempel
Finn arean av den inneslutna plana regionen R, mellan kurvorna
Först måste man finna vart kurvorna korsar varann:
Eftersom
ea.
NB!
Det är inte alltid så att man kan göra det så här enkelt för sig; Ibland så blir frågar man efter arean
mellan kurvorna, säg att i detta fall hade man frågat efter arean mellan kurvorna, från - till . Då
hade man först fått undersöka vart kurvorna skär varandra, och vilken kurva som ligger överst på de
olika intervallen. Sedan hade man ställt upp integralerna på de olika intervallen:
12
Rotationer
Idén är att rotera någonting runt
eller
och därmed få en volym.
Cylindriska skal
Man kan tänka sig formeln för cylindriska skal som:
Exempel
Vi har kurvan
som skall roteras runt
Då kan man tänka sig ett skal på avståndet från
som
blir vår skal-radie. För denna radie får vi höjden direkt ifrån
kurvans ekvation.
Eftersom vår ”undre funktion” är
så blir det lite enklare.
Man kan även förflytta axeln man roterar kring. Ponera att vi sätter den i
, således kommer
vår skalradie att förändras. Den kommer inte längre att vara från
, utan nu även 5
enheter bort från detta. Därmed kommer skalradien vara
, och i övrigt fortsätter man som
ovan.
http://www.youtube.com/watch?v=WDEhTXuIpJI
Exempel
Rotation kring
på avståndet
för kurvorna
Sätter upp:
I och med att övre och undre funktion är förskjuten, tas detta
med:
http://www.youtube.com/watch?v=ithgZfRKMHI
13
Volymer
Volymen av en boll kan fås genom att rotera halvcirkeln
runt x-axeln.
Volymen ges då
av(
:
Figur 6 Calculus sid 393
v.e
(Notera symmetri: Räknar från
, istället från –
.)
Längd av en kurva
Längden av en kurva ges av formeln då man har en kurva
Alternativt, om man har en kurva
:
, går det lika bra det:
Exempel
Tricket är att försöka skriva om till någonting i kvadrat, så man helt enkelt kan ta bort roten.
http://www.youtube.com/watch?v=PwmCZAWeRNE
14
Linjär Algebra
System av linjära ekvationer
En linjär ekvation med variablarna
Där och koeff. för
är en ekvation som kan vara skriven på formen
reella eller komplexa tal, vanligtvis kända i förväg.
Exempel.
Givet systemet
, kan koefficient matrisen skapas med varje koeff. i vardera kolumn.
För att lösa detta system:
Är ett system konsistent? Om man kan finna alla x, en lösning finns, så är systemet konsistent.
Det man gör för att få ut matrisen på triangulär form är: Byt två rader, Ersätt en rad med summan av
sig självt och en multipel av en annan rad. Skala upp; multiplicera en rad med en konstant skiljd från
noll.
Tentatal
Bestäm det eller de värden på som gör att
tillhör mängden
Sätt upp i matris och radreducera
Jag och Euler kommer inte överrens. Han får lösningen att
15
Radreduktion och Echelon form(trappstegsmatris)
En trappstegsmatris uppfyller:
Alla rader bestående av endast nollor är under alla rader som inte består av endast nollor.
Pivotelementet i varje rad är strikt till höger om pivotelementet i raderna ovanför den.
Ibland läggs även följande villkor till:
Alla pivotelement är 1.
Vektorekvationer
En matris med endast en kolumn kallas för en kolumvektor, eller vektor. Tex:
Konstanten framför en vektor kallas för skalär; cu
Ex.
Figur 7 3rd edition Lay sid 32
Ax=b
Figur 8 3rd edition Lay sid 41
Exempel
16
Lösningsmängd av linjära system
Homogena linjära system är då de kan skrivas på formen Ax=0, där A är en Mxn matris och o är
nollvektorn. Kan även kallas för den triviala lösningen.
Exempel
Avgör ifall det homogena systemet har en icke-trivial lösning.
Detta kan då skrivas på vektorform:
Icke-Homogena linjära system är då
, där är en vekor.
Figur 9 3rd ed. Lay sid 54
Linjärt oberoende
Denna lösning har en trivial lösning, där
. Frågan är ifall det är den enda lösningen.
En indexerad mängd vektorer är linjärt oberoende om vektorekvationen endast har den triviala
lösningen.
17
Figur 10 3rd ed. Lay sid 65
Exempel.
Avgör ifall
är linjärt oberoende, och finn ett linjärt beroende bland dem ifall möjligt.
Finns det en icketrivial lösning?
v1, v2 och v3 är linjärt beroende.
För att finna ett linjärt beroende mellan dem så görs en fullständig radreduktion:
Välj något värde skiljt från 0 på x3, tex 10 och då fås:
Detta är en av oändligt många möjliga linjära beroenden mellan
18
.
Linjära transformationer
Matristransformationer
Exempel
, och definiera en transformation
För att finna
, bilden av
För att finna ett
i
Lös ut
under transformationen
, vars bild på
är ;
för , Dvs lös
Vidden av detta x under T är den givna vektorn b.
För att avgöra om c är inom området för transformationen T:
Vektorn c är inom området T ifall c är i bilden av något x i
med andra ord om
x. Detta är ett annat sätt att fråga ifall systemet
är konsistent.
Definition
En transformation T är linjär ifall:
I.
II.
19
för något
Rotationer
Ex: T är en linjär avbildning som innebär att vektorer i
roteras moturs och sedan speglas i
-
axeln. Bestäm standardmatris för T.
Man tänker sig att man har axeln som x, och som ”y-axel”. Då har man två vektorer, som båda
vrids och sedan speglas. Matrisen kommer att innehålla dessa två vektorer:
är vektorn som går längs
sig
, roteras och sedan speglas. Du kommer då ha en vektor som sträcker
i ” -led” och efter speglingen kommer den att vara på
är vektorn som går längs
sig
i ” -led” ;
, roteras och sedan speglas. Du kommer då ha en vektor som sträcker
i ” -led” och efter speglingen kommer den att vara på
i ” -led” ;
Projektioner
Vanligen får man nått i stil med: Låt
vara en linjär avbildning på linjen
Man kan tänka sig att T är skuggan av någon vektor på linjen
Och
.
kan ju skrivas på vektorform…
Projektionen på denna linje är densamma som en projektion på . Låt
vektor. Projektionssatsen:
http://www.youtube.com/watch?v=FvcHKhdaAyw
20
vara en godtycklig
Matrisen av en linjär transformation
Beakta en linjär transformation :
Då finns en unik matris A så att:
Exempel
Kolumnerna av
Antag att T är en linjär transformation från
R2 till R3 så att:
En formel för godtyckligt x i R2:
Eftersom T är en linjär transformation
Eftersom
är uttryckt som en linjär kombination av vektorer, så kan man sätta dessa vektorer i
kolumner av matrisen A och uttrycka det som:
Matrisoperationer
Låt A, B och C vara matriser av samma storlek, och låt r och s vara skalärer:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
A+B=B+A
(A + B) + C =A+ (B + C)
A+0=A
r( A + B)= rA + rB
(r + s)A= rA+ sA
r(sA) = (rs)A
Transponat
21
Invers av en matris
En
matris
Där
,
är inverterbar om det finns en
matris
sådan att:
identitetsmatrisen. I detta fall är C en invers av A. Denna unika invers A-1:
För att snurra till saker med lite bokstavsjonglering. Antag att en matris
ur följande ekvation:
Vad att tänka på? Jo:
I.
II.
Exempel
Om
22
har invers, och lös ut
Figur 11 3rd ed. Lay sid 129
Determinanter
Figur 12 3rd ed. Lay sid 119
Kvantiteten
En
matris
kallas för determinanten av A:
är inverterbar om determinanten av
Exempel
Finn
och invers av
23
är skiljt från 0.
Går även att tänka på detta viset(Man ”räknar över” identitetsmatrisen):
=
Exempel
Beräkna determinanten av:
Tentatal:
Not. Här utvecklar man efter andra raden, då man ser att det blir lättare. Glöm ej de olika tecknen
som blir runtom i matrisen…
Cramer’s rule
Figur 13 3rd ed. Lay
24
Exempel
Lös med hjälp av Cramer’s
Sätt upp matris med
:
Sedan sätter man upp matris med
som är till höger om
i vårt system:
tom, ersätter den med det
Då kommer vår lösning att se ut på följande sätt:
Lösning:
http://www.youtube.com/watch?v=TtxVGMWXMSE
25
Två plan som skär varann
Två plan som skär varandra längs en linje, och sökt är ekvationen för linjen.
Man kan lätt få fram normalen för planen; det är bara koefficienterna framför
normalen är multiplar av varandra så är planen parallella.
Genom att sätta en variabel konstant kan man finna
. Om
som finns på linjen.
Väljer
Genom att sätta in dessa i ekvationerna kan man kolla att punkten verkligen existerar(men det verkar
det ju inte göra i det här jävla fallet. FAN!!!):
Satfläsk. Ja ja. För att få fram riktningsvektorn tar man kryssprodukten av normalvektorerna. Sätter
upp matrisen med
överst för att få ett uttryck som ser ut någotpåsånär som:
För att kolla att vektorn verkligen är rätvinklig mot båda normalerna, kan man ta dem skalärt
varandra och man ska få dem
.
När man har punkten så kan man sätta upp på parametrisk form(numera kör vi med random siffror):
Enligt Doktor Bob på tuben är det såhär man ska göra i alla fall:
http://www.youtube.com/watch?v=jozabh0lFmo
26
Distanser
Finn planets ekvation från punkter
Man har tre punkter, tex.
Då skapar man sig två vektorer som spänns upp av dessa tre punkter:
Ta kryssprodukten av vektorerna för att få normalvektorn(Vilket av sätten man väljer är upp till en
själv):
Sedan kan man kolla att den är vinkelrät; Ta skalärprodukten av normalvektorn mot u och v.
Ok!
Sedan sätter man in en av punkterna man fått i uppgiften i ekvationen
Vilket blir ekvationen som spänns upp utav punkterna PQR.
Avstånd från punkt till plan
Avståndet mellan en punkt och ett plan kan bestämmas genom att projicera vektorn , där är
punkten man mäter ifrån och är en godtycklig punkt på planet, på normalvektorn . Med andra ord
ges distansen av:
Detta kan skrivas om, då PA helt enkelt är avståndet mellan A och P, (A-P) och punkterna insatt i
normalvekorn blir en konstant:
27
Man får planets ekvation och ska bestämma avståndet till en punkt A. Om man tar ekvationen ovan:
till punkten
Först så kollar man det parallella planets ekvation i den önskade punkten( Sätt in A i ekvationen för
planet)
Då är distansen mellan planen differensen mellan planen dividerat med normalvektorns längd:
Distans mellan punkt och linje
Tre sätt: samma exempel för varje. Linjen ges av :
I.
Man skapar sig ett plan(döper det till π) vars normal utgörs av L, och P ligger i planet. Man
skapar sig en punkt som är skärningspunkten mellan planet och linjen L. Vektorn L ger
normalen i planet, som defineras av nämnarna:
Vi vet att normalen skalärt med någon punkt i planet kommer vara lika med normalen skalärt
med vår punkt P:
Hur finner man då vart punkten befinner sig? Man skriver om linjen som funktion av t, och
får då:
Sedan kastar vi in detta i planets ekvation.
Distansen:
II.
Genom skalärprodukt: Man sätter
på linjen L, och genom att skriva om L på dess
parametriska form kan man skriva positionen för
Vi vill att
skall vara vinkelrät mot :
28
Detta kan vi på en gång sätta in i
Distansen:
III. Använda sig av parallellogram: http://www.youtube.com/watch?v=9wznbg_aKOo
11.30 in i videon
Planets ekvation från punkter och linje
Ibland får man inte alltid tre punkter och allting är frid och fröjd. Ibland blandas det hejvilt.
Exempel: Planet innehåller punkterna
och linjen
Riktningsvektorn för planet kommer ju vara samma som den för linjen. Som tidigare exempel så
bestäms den av magnituden av ovan. Med andra ord kan vi benämna vektorn
Eftersom normalen av planet bestäms av kryssprodukten av två vektorer, så kan man skapa sig sin
andra vektor
Som blir en normalvektor till planet( Multipl. m. -1 för snyggare uttryck.)
Planets ekvation ges som man kanske minns av(insättning av P):
29
Länkar
Basic stuff: http://www.math.kth.se/math/GRU/2008.2009/SF1625/CMIEL/modul%20/elemfkn.pdf
L’hopitals regel: http://www.math.kth.se/math/student/courses/5B1135/I/200405/lhopital.pdf
Skotte som lirar med algebra: http://www.youtube.com/user/DLBmaths?feature=watch
30
