Umeå universitet
Tillämpad fysik och elektronik
Staffan Grundberg
Laboration
14 mars 2014
Stångbärverk
Hållfasthetslärans grunder
Civilingenjörsprogrammet i teknisk fysik
Stångbärverk
0
Knut 3
Knut 2
−0.1
−0.2
−0.3
y/ L
−0.4
−0.5
2
1
3
Knut 1
1
−0.6
−0.7
−0.8
−0.9
−1
Knut 4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x/ L
Figur 1. I figuren finns ett stångbärverk med en rörlig knut (1) och tre fixerade (2-4) avbildat.
1. Inledning
Ett stångbärverk består av ett antal stänger sammankopplade i momentfria leder, så kallade
knutar. Ett enkelt exempel på ett stångbärverk hämtat från Dahlberg [1] finns avbildat i figur 1
I figur 2 finns en stång i ett bärverk med knutar i punkterna r respektive r′ i obelastat tillstånd
avbildad. När stångbärverket belastas, kommer denna stång i bärverket att utsättas för en axiell
kraft N, men inget moment eftersom knutarna antas vara momentfria. Den axiella kraften N
antas vara positiv om den pekar i den utåtriktade normalens riktning vid ett internt snitt enligt
figur 2. Med andra ord är N positiv om stången utsätts för en dragkraft.
När stångbärverket belastas kommer knutarna vid r och r′ att förskjutas till r + ∆r respektive
r′ + ∆r′ . Stångens längd i det deformerade tillståndet blir då
l + ∆l = r + ∆r − r′ + ∆r′ r − r′
′
·
∆r
−
∆r
,
≈ r − r′ +
|r − r′ |
(1)
där approximationen förutsätter att deformationerna är små. Stångens längdändring vid belastning kan alltså skrivas
∆l = n̂ · ∆r − ∆r′ ,
(2)
där
n̂ =
r − r′
|r − r′ |
1
(3)
Stångbärverk
l = r − r′
Tänkt snitt
r′
N n̂
−N n̂
r
Figur 2. I figuren avbildas en stång i ett bärverk med momentfria leder. Stångens ändpunkter, som ansluter till två knutar, betecknas r respektive r′ . Vektorn l = r − r′ sammanbinder stångens ändpunkter och
vektorn n̂ är en enhetsvektor som är parallell med l och stången. Görs ett tänkt snitt i stången kommer
krafterna på snittytorna att vara N n̂ respektive −N n̂.
är en enhetsvektor parallell med stången, se figur 2.
Stångens töjning
∆l
,
l
(4)
σ
+ α ∆T,
E
(5)
ε≡
ges av den konstitutiva ekvationen Hookes lag
ε=
där σ är (normal)spänningen, materialparametrarna E och α är stångens elasticitetsmodul respektive längdutvidgningskoefficient, samt ∆T = T − T0 är temperaturändringen. Kombineras
de kinematiska och konstitutiva sambanden, så erhålls normakraften i stången
n̂ · (∆r − ∆r′ )
− α ∆T ,
(6)
N = EA
l
där A betecknar stångens tvärsnittsarea.
1.1. Exempel
Låt oss betrakta exemplet i figur 1 för fallet då knut 1 utsätts för en vertikal last
F1 = −Pŷ
(7)
och stängerna
√har alla samma axialstyvhet EA. Stängerna 1 och 3 har längden L, medan stång 2
har längden 2L. Temperaturen antas vara konstant, d.v.s. ∆T = 0. Kraftjämvikt i x-riktningen
för nod 1 ger jämviktsekvationen
√
√
1
(∆x1 / 2) − (∆y1 / 2)
∆x1
√
− √ EA
= 0,
(8)
− EA
L
2
2L
medan (kraft)jämvikt i y-riktningen ger
√
√
∆y1
1
(∆x1 / 2) − (∆y1 / 2)
√
−EA
+ √ EA
− P = 0.
L
2
2L
2
(9)
Stångbärverk
De två jämviktsekvationerna kan skrivas
EA
L
EA
L
!
√
∆y1
1+2 2
√ ∆x1 − √
= 0
2 2
2 2
!
√
∆x1 1 + 2 2
√ ∆y1
− √ +
= −P,
2 2
2 2
(10)
(11)
vilket kan skrivas på matrisform
där K är styvhetsmatrisen
EA
K= √
2 2L
Ku = f,
(12)
√
−1√
1+2 2
;
−1
1 + 2 2,
(13)
förskjutningarna ges av
u=
och den externa kraften av
∆x1
∆y1
0
f=
.
−P
Genom att lösa ekvationssystemet kan knutens förskjutning vid jämvikt beräknas
PL
1√
∆x1
u=
=−
√ 1+2 2 ,
∆y1
2EA 1 + 2
och detta ger att axialkrafterna i stängerna blir
√ 1+2 2 P
N1 =
√ 2 1+ 2
√
2P
N2 =
√ 2 1+ 2
P
N3 = − √ .
2 1+ 2
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
2. Knutpunktsförskjutningar
I fallet med ett stångbärverk med flera rörliga knutar och där stängerna utsätts för temperaturändringar, så ges knutpunkternas förskjutningar
∆x1
∆y1
∆x2
u = ∆y2
(20)
..
.
∆xn
∆yn
3
Stångbärverk
av jämviktsekvationerna
Ku = f + fT ,
(21)
där f innehåller de yttre krafterna och fT är en (kraft)term som härrör från de termiska töjningarna.
3. Bivillkor
Ett exempel på bivillkor är om någon eller några av de inre noderna är placerade på stöd, som
är fritt rörliga i endast en riktning. Då uppkommer reaktionskrafter, som är vinkelräta mot den
fria riktningen, från stöden. Dessa krafter ger ett bidrag till de yttre krafterna i ekvation (21),
som sedan löses tillsammans med bivillkoren.
Ett annat sätt att lösa problemet är att minimera den fria energin
1
F (T, u) = F0 (T0 ) + uT Ku − uT (f + fT ) ,
2
(22)
under de p linjära bivillkoren
Cu = 0,
(23)
där C är en p × 2n matris. Detta ger ett ekvationssystem
Ku − (f + fT ) = CT λ
Cu = 0,
där
λ =
λ1
λ2
..
.
λp
(24)
(25)
är en vektor innehållande Lagrangemultiplikatorerna λ1 , . . . , λ p. Ekvationssystemet kan skrivas
på kompakt form som
Ax = b,
(26)
där
K −CT
A=
C
0
u
x=
λ
och
b=
f + fT
0
,
(27)
(28)
.
(29)
4. Frågor
1. Beräkna knutpunktsförskjutningarna och axialkrafterna för stångbärverket i figur 1 om
stånglängderna ges av L = 1 m; alla stänger har samma axialstyvhet AE = 21 MN och
stång 2 utsätts för en termisk töjning α2 ∆T2 = 10−5 . Endast knut 1 är rörlig.
4
Stångbärverk
2.5
Knut 6
8
Knut 4
4
Knut 2
12
11
9
7
5
3
1
13
Knut 7
10
Knut 5
6
Knut 3
2
14
15
2
y (m)
1.5
1
Knut 8
0.5
0
Knut 9
Knut 1
Knut 10
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x (m)
2.5
3
3.5
4
Figur 3. I figuren finns ett stångbärverk med sju rörliga knutar (1–7), och tre fixerade (8–10).
2. Knut 1 i stångbärverket i figur 3 utsätts för en nedåtriktad kraft på 1 kN. Beräkna knutpunktsförskjutningarna och krafterna i stängerna. Axialstyvheterna är AE = 21 MN.
3. Knutarna 2 och 4 i stångbärverket i figur 4 placeras i obelastat tillstånd på stöd, vilket
medför att de endast kan röra sig i horisontell riktning. Beräkna knutpunktsförskjutningarna och reaktionskraften från stöden vid knutarna 2 och 4. Knut 3 utsätts för en nedåtriktad
kraft på 1 kN. Axialstyvheterna är AE = 21 MN.
5. Redovisning
Redovisa lösningarna på problemen ovan i en individuell rapport. Rapporten ska innehålla en
inledande teoridel, ett metodavsnitt där beräkningsalgoritmen beskrivs, en resultatdel där resultaten beskrivs, samt diskussion och slutsatser. Koden bifogas rapporten i en bilaga. Rapporten
laddas upp i Moodle.
Referenser
[1] Tore Dahlberg. Teknisk hållfasthetslära. Studentlitteratur, 2001.
5
Stångbärverk
1.5
Knut 1
y (m)
1
7
0.5
0
Knut 5
6
5
3
Knut 4
4
1
Knut 3
2
Knut 2
−0.5
0
0.5
1
1.5
x (m)
2
2.5
3
Figur 4. I figuren finns ett stångbärverk med två rörliga knutar (1 och 3), en fixerad (knut 5) och slutligen
två (knutarna 2 och 4) som är fritt rörliga i horisontell led (x-led), men fixerade i vertikal led (y-led).
6
