LINKÖPINGS UNIVERSITET
Matematiska Institutionen
Jan Snellman
Lösningsförslag till Kontrollskrivning 764G01 LINJÄR
ALGEBRA 2015-02-13
OBS: om inget annat anges är koordinaterna angivna i en positivt orienterad ON-bas
[e1 , e2 , e3 ] för rummet.
1) Låt Π vara planet genom punkterna (0, 0, 0), (1, 1, 1) och (1, 2, 3). Ange planets ekvation
på normalform.
Lösning: Vektorerna u = (1, 1, 1)t och v = (1, 2, 3)t ligger i planet, så deras kryssprodukt n = u × v = (1, −2, 1)t utgör normal för planet. Eftersom planet går genom origo,
blir dess ekvation x − 2y + z = 0.
2) Bestäm den punkt på linjen x + 2y = 13 som ligger närmast origo. Vad är avståndet?
1
x
Lösning: Normallinjen genom origo till den givna linjen har ekvation
=t
,
y
2
vilket insatt i ursprungslinjens ekvation ger
t + 2 ∗ 2t = 13,
så parametervärdet bestäms till t = 13
. Vi får att den närmsta punkten blir
5
√
13
som ligger på avstånd 5 5 från origo.
13
(1, 2)t ,
5
3) Låt w = e1 + e2 + e3 . Låt F vara avbildningen på rummet som ges av F (u) = u × w.
Visa (med hänvisning till räkneregler för vektorprodukten) att F är linjär, och ange
dess avbildningsmatris.
Lösning: F (cu) = (cu) × w = c(u × w) = cF (u), och F (uv) = (u + v) × w =
(u × w) + (v × w) = F (u) + F (v), enligt räknereglerna för vektorprodukt. Vi har att
x
x
1
y∗1−z∗1
0
1 −1 x
1 y .
F (y ) = y × 1 = −(x ∗ 1 − z ∗ 1) = −1 0
z
z
1
x∗1−y∗1
1 −1 0
z
4) Från punkten A = (1, 2, 3) skickas en laserstråle i riktning u = e1 − e2 − 2e3 . Strålen
stöter på planet x + y − z = 1, och reflekteras. Bestäm ekvationen för den reflekterade
strålen.
Ledning: låt v vara riktningsvektor för den reflekterade strålen, och låt n vara normalen för planet. Optikens lagar ger att u, n, och v ligger ett plan, och att vinkeln
mellan u och n är lika stor som vinkeln mellan v och n. Följaktligen kan vi, efter
komposantuppdelning av u relativt normalen, få v som −uk + u⊥ .
Lösning: Vi följer ledningen och beräknar
1
1
−1 ◦ 1
1
2/3
1
−2
−1
u◦n
2
uk =
n = 1 = 1 = 2/3 ,
n◦n
3
1
1
−1
−2/3
−1
1 ◦ 1
−1
−1
och
så
1
2/3
1/3
u⊥ = u − uk = −1 − 2/3 = −5/3 ,
−2
−2/3
−4/3
−2/3
1/3
−1/3
v = −uk + u⊥ = −2/3 + −5/3 = −7/3 .
2/3
−4/3
−2/3
Vi behöver även den punkt som den reflekterade strålen utgår från; denna punkt är
skärningspunkten med den infallande linjen och planet. Vi har att
x = 1 + t, y = 2 − t, z = 3 − 2t
och
x+y−z =1
så
(1 + t) + (2 − t) − (3 − 2t) = 1,
vilket ger t = 1/2 och x = 3/2, y = 3/2, z = 2. Följaktligen så blir den reflekterade
strålen
x
1/2
−1/3
y = 3/2 + t −7/3 ,
t ≥ 0.
z
2
−2/3
