Föreläsning 7 anteckningar

Föreläsning 7 (Differentialekvationer)
Introduktion
Exempel
y ( x) 
x
y ' ( x)  0
2
En sådan ekvation kallas ordinär differentialekvation. En ordinär differentialekvation
innehåller funktioner, dess derivator, 2:a derivator etc. Ordinära differentialekvationer
har en lösning som är en funktion (liksom de partiella differentialekvationerna)
snarare än ett tal som en vanlig ekvation har
I båda fallen (vanlig ekvation resp. differentialekvation) ska dock gälla att lösningarna
ser till att VänsterLed = HögerLed
I diffekvationsexemplet ovan gäller att y(x) = x2 är lösning (men inte ex.vis y(x) = x3)
och egentligen är också alla y(x) =C·x2 där C kan vilken konstant som helst.
Insättning av y(x) = C·x2 i diffekvationen ger nämligen:
y ( x)  C  x 2  y ' ( x)  C  2 x 
Vänsterledet V .L.  y ( x) 
x
y ' ( x)  C  x 2
2
x
y ' ( x)  C  x 2  C  x 2  0  H .L.
2
Konstanten C hänger faktiskt ihop den additiva konstanten C som dyker upp vid
integrering.
Exempel Bakterietillväxt
Låt oss ta ett exempel med bakterieodling och vi startar odlingen med 100 000
bakterier. Hur kommer bakteriemängden att förändras med tiden. Om man tänker sig
att tillväxten sker genom delning är det rimligt att tänka sig att tillväxttakten (dN/dt)
är proportionell mot antalet bakterier N
Vi får då följande relation
dN (t )
 k  N (t )
dt
Låt oss göra en ansats (gissning) av lösningen: N=eat => N’ = aeat
om vi sätter a = k stämmer det. Och faktiskt varje funktion N =C·eat är faktiskt en
lösning.
N (t )  C  e kt
Vad är då C? : Vi vet att startmängden = N0=100.000, d.v.s.
N (0)  C  e k 0  N 0  100.000 => således C = N0 = 100 000
Exempel epidemi (i isolerad population)
N är totalpopulationens storlek, y(t) är antalet smittade, N-y(t) är antalet friska och k
en proportionalitetskonstant.
Smittotillfällena är ju då en sjuk möter en frisk vilket ger att smittofrekvensen bör
vara proportionell mot ”antalet sjuka” * ”antalet friska” (d.v.s. (y(t)·(N-y(t))). Antag
att det börjar med 1 sjuk individ (y(0) = 1) . Vi får då följande samband:
dy (t )
 k   N  y (t )   y (t ) , y(0)=1
dt
N
1  ( N  1)  e  k  N t
----------------------------------------------------------------------Ty:
N
1
 N där u  1  ( N  1)  e  k  N t vilket ger
V.L. y (t ) 
 k  N t
u
1  ( N  1)  e
Lösning: y (t ) 
dy
1
N
 2 
du
u
1  ( N  1)  e k N t


2
och
du
 k  N  ( N  1)  e  k  N t
dt
dy (t ) dy (u ) du (t )
N



dt
du
dt
1  ( N  1)  e  k  N t

 kN 2 
( N  1)  e  k  N t
1  ( N  1)  e

2
 ( N  1)  (k )  N  e  k1  N t

 k  N t 2
H.L.
k   N  y (t )   y (t )  k N 
kN 2 
N
N2

k
1  ( N  1)  e  k  N t
1  ( N  1)  e  k  N t
1  ( N  1)  e  k  N t  1
1  ( N  1)  e

 k  N t 2

 kN 2 
( N  1)  e  k  N t
1  ( N  1)  e

2


 k  N t 2
d.v.s. H.L = V.L.
begynnelsevillkoret ger y (0) 
N
N
N


1
 k  N 0
1  ( N  1)  1 N
1  ( N  1)  e
alltså stämmer
Exempel permeabilitet
dM 2 (t )
 P  A  C1  C 2  
dt
dC 2 (t )
 V2  P  A  C1  C 2 
dt
J
ekv P.1
C1 och C2 relateras till varandra av följande relation; Totalmängden( M tot ) i systemet
är konstant och lika med:
M tot  C1  V1  C2  V2  C1  V1  M tot  C2  V2  C1 
Sätt in detta för C1 i ekv P.1
M tot  C2  V2
V1
 M  C 2  V2

 M  C 2  V2 C 2 
dC 2 (t )
dC 2 (t )

 V2  P  A   tot
 C 2  
 P  A   tot

dt
V1
dt
V1  V2
V2 



 M
1
C
C  P  A  M tot
1 
P  A   tot  2  2  
 P  A  C 2
V1  V2
 V1  V2 V1 V2 
 V1 V2 
P, A, Mtot, V1 och V2 är konstanter, så vi kan få ekvationen överskådligare genom att
skriva:
1
dC 2 (t ) P  A  M tot
1 

 P  A  C 2  k1  k 2  C 2 
dt
V1  V2
 V1 V2 
dC 2 (t )
 k 2  C 2  k1
dt
där k1 
P  A  M tot
V1  V2
1 1
och k 2  P  A  
 V1 V2 
dC2 (t )
 k 2  C2  k1 är en ordinär ( 1:ordningens linjär)
dt
differentialekvation.
Ekvationen
Lösningstekniker (Separabla)
En differentialekvation som kan skrivas
f ( x)
y ' ( x) 
g ( y)
Kallas för en separabel differentialekvation.
Denna kan lösas som en vanlig ekvation via den ekvivalenta formen:
G ( y )  F ( x)  C där
F ( x)   f ( x)  dx och G ( y )   g ( y )  dy
Exempel 1:
Lös y 
dy
 x2
dx
f ( x)  x 2  F ( x)  x 3 / 3
dy x 2
f ( x)
dy
2
y
 x =>
där


dx
dx
y g ( y)
g ( y)  y  G( y)  y 2 / 2
G ( y )  F ( x)  C
y 2 x3

 C => y 
2
3
ger
2x3
 2C
3
Exempel 2:
Lös
dy
ky
dx
f ( x)  k  F ( x)  k  x
dy
dy
k
f ( x)
 k  y =>
 1 
där
dx
dx y
g ( y)
g ( y )  y 1  G ( y )  ln( y )
G ( y )  F ( x)  C
ger
ln( y)  k  x  C  y  e k xC  e k x  e C  B  e k x där konstanten B  e C
Bevis av att G ( y )  F ( x)  C är ekvivalent med
G ( y )  F ( x)  C 
d (G ( y )) d ( F ( x)  C )

dx
dx
H.L.:
d ( F ( x)  C )
 f ( x)
dx
V.L.:
d (G ( y )) d (G ( y )) dy
dy


 g ( y) 
dx
dy
dx
dx
H .L.  V .L.  g ( y ) 
dy
dy f ( x)
 f ( x) 

dx
dx g ( y )
dy f ( x)

dx g ( y )
1:a ordningen linjära differentialekvationer
En differentialekvation som kan skrivas
y ' ( x)  P ( x)  y ( x)  Q( x)
Kallas för en 1:a ordningen linjär differentialekvation.
Denna kan lösas som en vanlig ekvation via följande algoritm
Sätt I ( x)  e 
P ( x ) dx
Sedan kan ekvationen skrivas på den ekvivalenta formen:
I ( x)  y ( x)   I ( x)  Q( x)dx
Integralen till höger löses varefter y(x) löses ut ur den ekvivalenta formen
1 till enklare exempel på 1:A ordn linj. reflektion ht 16
Exempel
dy
 2 xy  2 x
dx
Detta är en 1: ordningens differentialekvation linjär ty:
P( x)  2 x Q( x)  2 x
a)  P( x)dx   2 xdx  x 2
b) I ( x)  e 
P ( x ) dx
 ex
2
c) I ( x) y( x)   I ( x)  Q( x)dx  e x y( x)   e x  2 xdx
2
2
Denna kan lösas medelst substitution: Sätt u=x2 => u’=2x
Detta ger:  e x  2 xdx   e u  u' dx   e u  du  e u  C  e x  C
2
2
Således:
ex  C
2
e y ( x)   e  2 xdx  e
x2
x2
x2
 C  y ( x) 
e
x2
 1  C  ex
2
Koll att y( x)  1  C  e  x är en lösning till differentialekvationen
y ' ( x)  2 x  y ( x)  2 x
2
y' ( x)  2 x  C  e  x
2
V .L.  2 x  C  e  x  2 x  (1  C  e  x )  2 x  C  e  x  2 x  1  2 x  C  e  x  2 x  1 
2
2
2
2
2 x  HL
Bevis av lösningsformeln för 1:a ordn. Linj. Diff. Ekv.
y ' ( x)  P ( x)  y ( x)  Q( x)
Ekv .1
Först tittar vi lite på den funktion som kallas integrerande faktorn och dess derivata:
I ( x)  e 
P ( x ) dx
 I ' ( x)   P( x)dx 'e 
P ( x ) dx
 P( x)  e 
P ( x ) dx
 P( x)  I ( x)
Nu multiplicerar vi första ekvationen ovan med I(x) på båda sidor
I ( x)  y ' ( x)  I ( x) P( x)  y ( x)  I ( x)  Q( x)
Men P( x)  I ( x)  I ' ( x)
Vilket ger
I ( x)  y ' ( x)  I ' ( x)  y ( x)  I ( x)  Q( x)
Ekv .2
Nu säger produktregeln att
I ( x)  y ' ( x)  I ' ( x) y ( x) 
d ( I ( x)  y ( x))
dx
Vilket gör att vi kan ersätta vänsterledet i ekv 1 med :
d ( I ( x)  y ( x))
 I ( x)  Q( x)
dx
d ( I ( x)  y ( x))
, d.v.s. vi får:
dx
Integrerar vi båda sidorna med avseende på x får vi
I ( x)  y ( x)   I ( x)  Q( x)dx
Lösning av exempel permeabilitet
Vi hade ju resonerat fram oss till ekvationen
1
dC 2 (t ) P  A  M tot
1

 P  A 
dt
V1  V2
 V1 V2

C 2  k1  k 2  C 2 

dC 2 (t )
 k 2  C 2  k1
dt
om vi sätter k1 
1 1
P  A  M tot
och k 2  P  A  
V1  V2
 V1 V2 
Detta är en 1:a ordningens linjär diffekvation, d.v.s,. den är på formen
dC2 (t )
 P(t )  C2  Q(t )
dt
där P(t) = k2 och Q(t) =k1
a)
 P(t )dx  k t
2
b) I (t )  e  P (t ) dx  e k2t
c)
C 2 (t )  I (t )  C (t )  e k 2t   Q(t ) I (t )dt   k1  e k 2t dt 
k1 k 2 t
e  K
k2
k
C 2 (t ) 
 1  K  e  k 2t 
k2 x
k2
e
 1
P  A  M tot
V1  V2
1
1
P  A 
 V1 V2
k1 k 2 t
e  K 
k2



 Ke
1 
 P A   t
M tot
V V
 Ke  1 2 
V1  V2
K ges av begynnelsevillkoret. Låt säga att C2(0) =0
 1
1 
 P A   0
M tot
M tot
V V
C 2 ( 0) 
 Ke  1 2  
 K 1  0 
V1  V2
V1  V2
K 
M tot

V1  V2
 1
1 
M tot
M tot  P A V1  V2 t
M tot
C 2 (t ) 

e

V1  V2 V1  V2
V1  V2
 1 1 

 P  A   t 
V V

 1 e  1 2  




Andra typer av diffekvationer ( behandlas inte i denna kurs)
linjära 2:a ordningen
ickelinjära
 1 1
 P A 
 V1 V2

 t

