Lösningar

Lösningar till tenta på SK1110 för CMATD
2016-08-24
1. a) För att accelerera elektronerna krävs ett elektriskt fält (för magnetiska fält är kraften
alltid vinkelrät mot partikelns rörelseriktning, så magnetfält kan inte användas för att
accelerera elektroner). b) Fältet ska vara riktat från anod till katod. c) Elektronens
rörelseenergi kommer från den potentiella energi den förlorat, och är alltså W=qU, där q är
elektronens laddning och U spänningen mellan anod och katod. Fältet ger av
𝑈 𝑊
𝐸= =
= 0.20 MV/m.
𝑑 𝑞𝑑
2. Två spolar på gemensam järnkärna är en transformator, och om resistansen kan
försummas gäller
𝑈1 𝑁1
=
.
𝑈2 𝑁2
Spänningen över första spolen ges av 𝑈1 = 220 ∙ √2 sin(2𝜋 ∙ 50𝑡), så då ges spänningen över
andra spolen av
20000
𝑈2 =
∙ 220 ∙ √2 ∙ sin(100𝜋𝑡) = 62000 ∙ sin(100𝜋𝑡) V .
100
Spänningen ur vägguttaget kan även anges som 230 V. Har du missat faktorn √2 gör det
inget, den hör inte till kursen. Funktionen behöver inte vara en sinusfunktion, det kan lika
gärna vara t.ex. en cosinus.
3. Från en maskin är ljudintensitetsnivån 50 dB på 0.5 m avstånd. På dubbla avståndet, alltså
1 m, har ljudintensiteten sjunkit till en fjärdedel, eftersom den är proportionell mot avståndet i
kvadrat. När ljudintensiteten sjunker till en fjärdedel, minskar ljudintensitetsnivån med 6 dB.
Alltså ger en maskin 44 dB på en meters avstånd.
Sedan ska ljudet från de två pumparna läggas ihop. Eftersom det är buller, ska ljudet adderas
inkoherent, dvs 𝐼𝑡𝑜𝑡 = 𝐼1 + 𝐼2 . Detta innebär en fördubbling av ljudintensiteten jämfört med
en pump, dvs ljudintensitetsnivån stiger med 3 dB. Alltså blir ljudintensitetsnivån 47 dB.
160
4. Förstoringen hos ett mikroskopobjektiv ges av 𝑀𝑜𝑏 = 𝑓 , där tublängden är 160 mm. För
𝑀 = 10 blir då fobjektivets fokallängd 16 mm.
𝑜𝑏
För att få en förstoring på -2 ggr ska vi ha s´=2s, så avbildningsformeln blir
1 1
1
+
=
.
𝑠 2𝑠 𝑓𝑜𝑏
Då blir s= 24 mm och s´=48 mm, dvs mikroskopobjektivet sitter 24 mm efter scintillatorn och
CCD-sensorn 48 mm efter objektivet.
18
5. Gitterekvationen (Bragg) ger 𝑑 sin 𝜃 = 𝜆, och vinkeln ges av tan 𝜃 = 200 . Detta ger
avståndet d mellan atomerna som 1.0 ∙ 10−10 m = 1 Å (Ångström).
Lösningar delas ut kl 15:00 i dag, utanför tentasalen och på http://www.biox.kth.se/opt_utb
6. Strålkonstruktion visar snabbt att systemet har mellanbilden i oändlighet. Därmed kan vi
inte räkna med förstoring via mellanbilden. Ett annat sätt är att titta på de blå strålarna i
strålkonstruktionen ovan. Eftersom de två blå strålarna är parallella med varandra mellan
linserna, måste de två markerade vinklarna vara lika stora. Få får vi
ℎ´
𝑓2
100
=− =−
= −2 ,
ℎ
𝑓1
50
dvs förstoringen blir -2 ggr.
7. Det här är en svår uppgift! En elektron på optiska axeln ser ett magnetfält som är parallellt
med rörelseriktningen, och upplever alltså ingen kraft. Den fortsätter rakt fram. För en
elektron i kanten av spolen är dock hastighet och magnetiskt fält inte parallella.Fältet har
komposanter både lodrätt (i y-riktningen) och vågrätt (i z-riktningen). Även elektronens
hastighet har komposanter i dess båda riktningar. Alltså måste kraften på en elektron, som fås
som en kryssprodukt av B och v, peka rakt in eller rakt ut ur pappret. Användning av
högerhandsregeln visar att kraften på elektronerna i detta fall pekar rakt in i pappret ovanför
optiska axeln, men rakt ut ur pappret nedanför optiska axeln.
Det här vara bara ett tvärsnitt. Om man föreställer sig andra tvärsnitt, t.ex. horisontellt istället
för vertikalt, inser man att elektronerna kommer att röra sig i en spiral moturs. Har man
kommit hit, har man full poäng på uppgiften.
Det händer dock en sak till. När elektronerna börjar rotera moturs, får de en hastighet i xriktninen (in eller ut ur papprets plan). Högerhandsregeln säger att de då upplever en kraft
riktad mot optiska axeln. Spolen utgör en magnetisk lins, som kan användas för att fokusera
elektronstrålen.
8. Riktningen på gitret gör att en av ordningarna alltid kommer att brytas mot optiska axeln.
Fokallängden är det avstånd, på vilket röntgenstrålarna korsar optiska axeln enligt figur. De
blåmarkerade vinklarna är båda lika med avböjningsvinkeln 𝜃 i den yttersta, tätaste delen av
gittret, och vi får från figuren att sin 𝜃 ≈ 0.5/1000. Gittret kommer att böja av första
ordningen med vinkeln sin 𝜃 = 𝜆⁄𝑑 , vilket
0.5
ger perioden på gittret som 2 μm. Detta
mm
motsvarar linjetätheten 500 linjepar/mm.
1m
Lösningar delas ut kl 15:00 i dag, utanför tentasalen och på http://www.biox.kth.se/opt_utb