Spänningsfördelning i järnvägsräls

DEPARTMENT OF MECHANICAL ENGINEERING
Department of Solid Mechanics
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Dinh Dinh
Linköpings universitet
Linköping
2007-05-18
2007-06-08
x
x
Instutionen för konstruktionoch produktionsteknik, IKP
Hållfasthetslära
LIU-IEI-TEK-G--07/0014--SE
LIU-IEI-TEK-G--07/0014--SE
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Dinh Dinh
När ett tåg passerar framkallar det både en axiell och en lateral kraft på spåret. Den laterala kraften
tenderar att skjuta rälen utåt. Detta är ett fenomen som skall undersökas.
Fordon som kör på järnvägsspår genererar växelverkande krafter i tre riktningar vid kontaktytan hjul-räl:
vertikala, laterala (sidokrafter) och längsgående krafter. De växelverkande krafterna beror i princip på det
spårbundna systemets fysikaliska egenskaper; nämligen
fordonets statiska belastning
dynamisk belastning
Den största delen av detta arbete har åtgått till att utföra simuleringar med FEM programmet Trinitas som
utvecklats av professor Bo Torstenfeldt, Linköpings Universitet, Avdelningen för Hållfasthetslära. Med
hjälp av finita elementmetoden (FEM) beräknas spänningar och förskjutningar på olika platser i rälen.
Abstract
When a train runs of a track it will induce both axial and lateral forces where the latter tend to push the
track outwards. This is a phenomenon that will be investigated in this report.
A train which moves over the track generates interacting forces in three directions at the contact surface
between wheel and rail: vertical, lateral and longitudinal forces. The interacting forces depend on physical
properties of the system. These are
static forces of vehicle,
dynamic forces
The main part of this work has been doing simulations with a finite element program; the software Trinitas,
that has been developed by Bo Torstenfelt, professor at Linköping University. Thanks to the finite element
method (FEM) one, calculate stress, and displacements in different positions in rail.
Nyckelord
Lateral kraft, vertikal kraft, kontaktkrafter mellan hjul och räl, statisk belastning, train/track interaction
Förord
Detta examensarbete på 10 poäng utgör avslutningen på min
ingenjörsutbildning vid Linköpings Tekniska Högskola, inriktning mot
hållfasthetslära,
Institutionen
för
Konstuktionsteknik
och
Produktionsteknik.
Härmed vill jag framföra ett stort tack till min handledare Tore Dahlberg
för alla hjälp med goda råd och värdefulla tips vid genomförandet av
examensarbetet.
Linköping den 18 maj 2007
Dinh Dinh
I
II
Sammanfattning
När ett tåg passerar framkallar det både en axiell och en lateral kraft på
spåret. Den laterala kraften tenderar att skjuta rälen utåt. Detta är ett
fenomen som skall undersökas.
Fordon som kör på järnvägsspår genererar växelverkande krafter i tre
riktningar vid kontaktytan hjul-räl: vertikala, laterala (sidokrafter) och
längsgående krafter. De växelverkande krafterna beror i princip på det
spårbundna systemets fysikaliska egenskaper; nämligen
• fordonets statiska belastning
• dynamisk belastning
Den största delen av detta arbete har åtgått till att utföra simuleringar med
FEM programmet Trinitas som utvecklats av professor Bo Torstenfeldt,
Linköpings Universitet, Avdelningen för Hållfasthetslära. Med hjälp av
finita elementmetoden (FEM) beräknas spänningar och förskjutningar på
olika platser i rälen.
För mätning av kontaktkraften mellan hjul och räl när fordon trafikerar
järnvägar placeras töjningsgivare både på framsidan och baksidan av
rällivet. Töjningsgivare mäter vertikal normaltöjning och med hjälp av
Hooks lag σ = E. ε (eller dessa fleraxliga motsvarighet) bestämdes
normalspänningar som verkar i rälen.
III
Mätning av vertikal normaltöjning över sliprar och mitt emellan sliprar på
rällivet uppdelas i två huvudfall som undersöks separat . De viktigaste
uppgifterna av i denna rapport är att beräkna den laterala maxsidokraften i
förhållande till den vertikala konstantkraften som redan är känd, och att
finna var de största spänningarna koncentreras längs rälen. Det har varit en
intressant fråga. Här nedan följer ett kraftschema för simulering.
1. Flateral = 9, 18, 27, 36, 45, 54 kN och Fvertikal = 0
2. Flateral = 0 och Fvertikal = 90kN
3. Flateral = 9, 18, 27, 36, 45, 54 kN och Fvertikal = 90 kN
De statiska vertikala och laterala krafterna sätts på rälhuvudet och därefter
plottas spänningar längs rällivet, som är rälens smalaste del.
Efteråt görs en jämförelse mellan de erhållna resultaten och Banverkets
mätningar. Sammanfattningsvis kan alltså slutsatserna dras att
• Spänningarna varierar linjärt i y-led
• Den maximala normalspänningen för mätning längs mitten av
rällivet i y-led är cirka 55 MPa
• Normalspänningen längs rällivet över sliprarna når sitt maxvärde
som är cirka 35 procent mer än maxspänningen mitt emellan
sliprarna.
IV
Abstract
When a train runs of a track it will induce both axial and lateral forces
where the latter tend to push the track outwards. This is a phenomenon
that will be investigated in this report.
A train which moves over the track generates interacting forces in three
directions at the contact surface between wheel and rail: vertical, lateral
and longitudinal forces. The interacting forces depend on physical
properties of the system. These are
• static forces of vehicle,
• dynamic forces
The main part of this work has been doing simulations with a finite
element program; the software Trinitas, that has been developed by Bo
Torstenfelt, professor at Linköping University. Thanks to the finite
element method (FEM) one, calculate stress, and displacements in
different positions in rail.
Strain gaugses are placed both inside and outside on the web of the rail for
measurement of the contact force between wheel and rail when the train
moves along the rail. The gaugses measure vertical destrain and thanks to
Hook´s law σ = E. ε one can find normal stresses that affects the rail.
V
Calculations of the normal strain over sleepers and between sleepers along
the web of the rail are divided up into two main cases that are investigated
separately. The most important information of the report is to calculate the
maximum lateral load in relation to the vertical constant load which is
known, and to find points of the largest normal stress of the rail. Here
follows the schedule of the forces used:
1. Flateral = 9, 18, 27, 36, 45, 54 kN och Fvertical = 0
2. Flateral = 0 och Fvertical = 90kN
3. Flateral = 9, 18, 27, 36, 45, 54 kN och Fvertical = 90 kN
Those lateral and vertical forces are put on the rail head and can be ploted
along the web that is the smallest part of the rail.
Results from the numerical model will be compared with experiments
achieved from Banverket. The following conclusions are drawn.
• The normal stresses vary linearly in y-direction
• The maximum normal stress for measurements along the middle of
the web is about 55 MPa
• The normal stress for measurement along the middle of the web
reaches its maximun value over sleepers and is about 35 procent
more than the maximum normal stress value in midway between
the sleepers
VI
Innehållsföreteckning
1 Inledning ........................................................................................................ 1
1.1 Bakgrund .................................................................................................. 1
1.2 Syfte ......................................................................................................... 1
1.3 Mål ........................................................................................................... 1
1.4 Begränsningar ........................................................................................... 1
1.5 Förenklingar.............................................................................................. 2
2 Teori............................................................................................................... 3
2.1 Spårkonstruktion och komponenter........................................................... 3
2.2 Definition.................................................................................................. 4
2.2.1 Trådtöjningsgivare ............................................................................. 4
2.2.2 Spänning och förskjutning .................................................................. 5
3 Experiment av Banverket ............................................................................. 6
3.1 Experiment................................................................................................ 6
3.2 Resultat..................................................................................................... 8
4 Konstruktion av modell .............................................................................. 10
4.1 Rälsprofil ................................................................................................ 10
4.1.1 Tvådimension.................................................................................... 10
4.1.2 Tredimension .................................................................................... 11
4.3 Gränsvillkor och material parameter ....................................................... 12
4.4 Kontaktskraft mellan hjul och räl ............................................................ 13
5 Finita Elementmetoden............................................................................... 15
5.1 Teori ....................................................................................................... 15
5.2 Programvara............................................................................................ 16
6 Resultat ........................................................................................................ 17
6.1 Styvhet av modell ................................................................................... 17
6.2 Punktval av rälsprofil .............................................................................. 19
6.3 Simuleringar av modell........................................................................... 20
6.3.1 Spänning mellan sliprar vid A och B ................................................ 20
6.3.2 Spänning över sliprar vid A och B .................................................... 31
6.3.3 Spänning mellan sliprar vid C och D................................................ 33
6.3.4 Spänning över sliprar vid C och D.................................................... 33
6.3.5 Spänning mellan sliprar vid D, B och F............................................ 34
6.3.6 Spänning över sliprar vid D, B och F................................................ 35
6.4 Jämförelse med Banverkets mätningar .................................................... 36
7 Slutsatsser, diskusion och fortsatt arbete................................................... 40
8 Bibliografi .................................................................................................... 42
9 Bilagor.......................................................................................................... 43
9.1 Bilaga 1................................................................................................... 43
9.2 Bilaga 2 ...................................................................................................................44
VII
Spänningsfördelning i järnvägsräls
1 Inledning
I detta kapitel beskrivs bakgrund, syfte, mål, förenklingar och begränsningar.
1.1 Bakgrund
Redan under 1850-talet togs den första järnvägen i bruk för persontrafik i Sverige. Sedan dess
har landet satsat stort på utvecklingen av järnvägssystem dels genom upprustningar av
befintliga järnvägsspår dels genom nyproduktion.
Fordon som körs på järnvägen genererar växelverkande krafter i tre riktningar vid
kontaktytan mellan hjul och räl: vertikala, laterala (sidokrafter) och longitudinella
(längsgående krafter). De laterala krafterna tenderar att skjuta järnvägsrälen utåt.
I verkligheten finns det flera anledningar till att spårdeformationer uppkommer.
•
Fordonets statiska belastning
•
Dynamisk belastning
•
Hastighet
• Temperatur osv.
För mätning av spänning eller töjning av järnvägsrälen kan trådtöjningsgivare placeras på
rällivet som används för att mäta formförändring av rälen då fordonet passerar.
1.2 Syfte
Syftet med detta examensarbete är att undersöka hur statiska effekter påverkar förskjutning
och spänning i järnvägsrälen då statiska belastningar läggs på rälhuvudet. Därefter studeras
inverkan av sidokrafter i förhållande till den vertikala kraften som redan är känd. Ett annat
syfte är att bestämma den största normalspänningen i y-led som förekommer i rälen vid
tågpassage.
1.3 Mål
Följande fyra delmål har satts upp för examensarbetet.
• Att producera en modell
• Att undersöka normalspänningsfördelningarna i rälen i y-led
• Att plotta spänningskurvor
• Att jämföra dessa numeriska resultat med Banverkets mätningar
1.3 Begränsningar
För att genomföra beräkningar av den slutgiltiga tredimensionella modellen krävs inte bara
beräkningstid utan också den tillgängliga datorkraften.
1
Spänningsfördelning i järnvägsräls
1.4 Förenklingar
Följande förenklingar är utförda:
• Rältyp UIC 60
• Rällängder är cirka 3,7 m och 4,7 m
• Rälprofilen är något förenklad i förhållande till den riktiga rälen
2
•
Fordonets statiska vertikala och laterala belastning antas
•
•
•
•
Utbredningen av sliprar och ballast har begränsats till att motsvara rälens bredd
Rälen anses perfekt vilket innebär att rälhuvudet antas vara helt slätt och jämnt
Fordonet färdas på rakt spår
Mätning och beräkning av normalspänning sker endast i y-led
Spänningsfördelning i järnvägsräls
2 Teori
I det här avsnittet beskrivs uppbyggnad av järnvägsspår med olika komponenter och de
uttryck som används nedan defineras.
2.1 Spårkontruktion och komponenter
Ett järnvägsspår uppdelas i två tydliga system, banöverbyggnad och banunderbyggnad.
Figur 01. Schematisk bild över järnvägsspår.
•
•
Banöverbyggnaden innefattar räl, rälsbefästning, mellanlägg, sliper och ballast. På
räler färdas järnvägståg som belastar dessa komponeneter som sprider tågets tyngd på
ballast och banunderbyggnad
Banunderbyggnaden består av banvallen som tar emot belastningen av tåget genom
banöverbyggnaden.
Komponenter omfattar:
1. Räl
2. Mellanlägg
3. Rälsbefästning
4. Sliper
5. Ballast
6. Banvall (Bankropp eller bro)
Järnvägsrälerna har en I-form i rälsprofilen och de tillverkas i stål. Rälernas uppgift är att
transportera, hålla tågets hjul i rätt riktning och uppbära tåget. De skall vara jämna och släta
så att tåget körs tyst, friktions- och vibrationsfritt.
För att dämpa svängningar orsakade av tågets rörelse placeras ett mellanlägg mellan räl och
sliper. Den har en fyrkantig form och består av gummi för att ej leda elektricitet.
Rälsbefästningens uppgift är att hålla ihop rälerna och sliprarna under statisk och dynamisk
belastning.
3
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Mellan ballast och räl ligger sliprar, vilka tillverkas i betong, trä eller stål. I dagsläget används
huvudsakligen betongsliprar i järnvägen eftersom de håller bättre, ger ett stadigare spår och
kräver mindre underhåll. Betongsliprar har dock nackdelen att inte vara lika fjädrande som
träsliprar.
Sliprarnas uppgift är följande:
• Att vara ett fjädrande underlag för överföring av kontaktkraft mellan hjul och räl till
spänningar i ballasten.
• Att låsa fast rälerna för korrekt rälavstånd, dvs. spårvidd.
Sliprarna placeras på jämnt avstånd från varandra och vinkelrätt mot spåret. Ojämna
sliperavstånd ger större böjspänningar i rälerna som resulterar i en ojämn spänningsfördelning
i ballasten. Detta kan leda till försämring av spårets läge.
Ballasten består av sand, grus eller makadam och den har till uppgift
• Att ge spåret stabilitet
• Att vara något elastisk
• Att dämpa ned vibrationer
• Att dränera regnvatten
• Att ta upp och fördela statiska och dynamiska belastningar i tre riktningar till
banunderbyggnaden.
Med bankropp avses en traditionell konstruktion bestående av tjälskyddsmaterial,
underballast, överballast med nedbäddade sliprar, infästningsanordningar, samt spårväxlar.
2.2 Definition
Här defineras uttryck som används i detta arbete.
2.2.1 Trådtöjningsgivare
En metalltråd som utsätts för en dragkraft minskar i tvärsnittsarea. Det är känt att när arean på
en tråd minskar så ökar dess resistans. Töjningen kan vara positiv eller negativ, beroende av
om materialet påverkas av en dragkraft eller tryckkraft. Basmaterialet är plast eller papper.
Det kan vara fråga om att bestämma spänningar och töjningar i materialet i en järnvägsräl.
Om töjning mäts i en punkt kan man sedan med hjälp av hållfasthetlärans lag, Hooks lag,
bestämma spänningar i punkten.
Figur 02. En töjningsgivare
4
Spänningsfördelning i järnvägsräls
2.2.2 Spänning och förskjutning
Enligt Figur 03 defineras spänningskomponenter nedan.
Figur 03. Schematisk bild över spänningskomponenter
Skjuvspänning
Om tvärkraften T fördelar sig jämnt över tvärarean A kommer belastningen per ytenhet att bli
T
T N 
. Detta kan anses som en definition av skjuvspänningen τ =  2  . Vidare gäller
A
A m 
τ xy = τ yx , τ xz = τ zx och τ yz = τ zy .
Normalspänning
Kraften N verkar i snittytans normalriktning och kallas normalkraft. Normalspänningen har
dimensionen kraft per areaenhet och är riktad vinkelrätt ut från snittan, alltså i ytans
normalriktning. Index y talar om att normalriktningen ligger i y-riktningen.
N N 
En definition av normalspänning är: σ y =
och Hooks lag ger σ = E.ε
A  m 2 
I ett generellt fall får man både normalspänning och skjuvspänning som samtidigt verkar på
ett elements snittytor. Man får spänningskomponenterna σ x , σ y och τ xy .
Förskjutning
Rubbning ur urprungligt läge.
5
Spänningsfördelning i järnvägsräls
3 Experiment av Banverket
I detta avsnitt beskrivs hur experiment har genomförts av Banverket.
3.1 Experiment
Deformation av rälen beror starkt på rältyp, ballastens kondition, vikt och tåghastighet. Tack
vare givare mäts normaltöjning och med hjälp av Hooks lag beräknas normalspänning.
Y
Z
Figur 04: Schematisk bild över en räl med åtta givare.
Här klistras åtta identiska töjningsgivare på båda sidor av järnvägsrälen för mätning av endast
vertikala normaltöjningar.
I yz-planet mitt emellan sliprarna A och B fästes givare 1 och 2 på rällivet och likaså mitt
emellan sliprarna C och D fästes givare 6 och 7. Över sliprarna B och D fästes givare 4 och 5
respektive 8 och 9.
Givarna 1, 4, 6 och 8 placeras på framsidan av rälen och på baksidan i rällivet vilar givarna 2,
5, 7 och 9.
Avståndet mellan givarna 1 och 2 respektive 4 och 5 är 300 mm som också är avståndet
mellan givarna 6 och 7 respektive 8 och 9.
På motsvarande sätt är avståndet mellan givarna 1 och 2 respektive 6 och 7 120 cm och
samma sak gäller givarna 4 och 5 respektive 8 och 9.
6
Spänningsfördelning i järnvägsräls
För att plotta detta resultat används Matlab-kod som tillåter oss att plotta töjningskurvor.
Figur 05. Töjningskurvor vid tågpassage för fyra töjningsgivare 1, 2, 4, 5.
Töjningskurvorna ovanför har erhållits för ett fordon med tre vagnar som färdas i 97 km/h på
järnvägen. I första delen av Figur 05 (från 3,5 till 4,1 s) finns fyra höga toppar som motsvarar
passagen lokets fyra hjul, dvs varje topp motsvarar passagen av ett hjul av loket. Därefter
kommer det ytterliggare fyra toppar vilka representerar de fyra hjul som den första vagnen
har. De har naturligtvis mindre amplitud än de fyra första topparna på grund av att vagnen är
lättare. De fyra topparna grupperas två och två och överstämmer med de fyra hjul som en
vagn har. Vagnen som körs på järnvägen har två boggier och var och en boggi har två axlar
som visas nedan.
Figur 06. En boggi
7
Figur 07. En vagn
Figur 08. Ett lok
Spänningsfördelning i järnvägsräls
3.2 Resultat
Ur den maximala töjningsskillnaden mellan 1 och 2 (eller mellan 6 och 7) för mätning mitt
emellan sliprar (Figur 09), och mellan 4 och 5 (eller mellan 8 och 9) för mätning över sliprar
(Figur 10) beräknas den största laterala komponenten av kontaktkrafterna mellan hjul och räl.
Figur 09. Zooma in töjningskurvor mitt emellan sliprarna
Figur 10. Zooma in töjningskurvor över sliprarna
8
Spänningsfördelning i järnvägsräls
I figurerna ovan ser man att det förekommer två olika grupper av givare, givarna i
grupp I (1, 2, 6, 7) (se Figur 04) för töjningsmätning mitt emellan sliprarna och givarna i
grupp II (4, 5, 8, 9) för töjningsmätning över sliprarna. Man söker den största
töjningsskillnaden mellan två toppar i en grupp och gör en jämförelse mellan dem.
 µm 
Det största värdet på normaltöjningen mitt emellan sliprar är cirka ε yy ≈ 150 
 (se Figur
m 
09). På samma sätt har normaltöjningen (ε yy ) över sliprar sitt största värde och
 µm 
maxtöjningsskillnaden är cirka ε yy ≈ 260 
 (se Figur 10). Denna töjning är proportionelll
m 
mot lateralkraften på rälen. Man se att tredje hjulaxeln på loket har en stor lateralkraft.
9
Spänningsfördelning i järnvägsräls
4 Konstruktion av modell
I detta avsnitt beskrivs den använda järnvägsrälprofilen och antal noder och element ges för
den solidelementmodell som kommer att användas för simuleringen med hjälp av
datorprogramet TRINITAS.
4.1 Rälsprofil
För att beräkna normalspänning och förskjutning med Trinitas byggs först en tvådimensionell
modell och därefter en tredimensionell modell.
4.1.1 2D-modell
Först ritas en grov skiss på vad som skall analyseras. Sedan väljs lämplig höjd och bredd hos
geometrimodellen. Vidare väljes ett rälliv med konstant tjocklek 16,5 mm för modellen så att
den blir relativt lik den riktiga rälen. (se Figur 40 i Bilagor)
Modellen framställs symmetriskt. En detalj som skiljer mellan den riktiga rälen och modellen
är att radier av rälen ersätts med raka linjer för att förenkla modellens geometri.
172 mm
16, 5 mm
150 mm
Figur 11. 3D-modellens tvärsnitt
10
Spänningsfördelning i järnvägsräls
4.1.2 3D-modell
Efter att ha konstruerat denna modell i 2D går vi vidare till volymsindelning så att rätt
materialegenskap kan simuleras i respektive delområde. För enkelhets skull väljs
elementindelningen med 4-nodiga element.
Ytterligare expanderas den slutgiltiga tvådimensionella rälprofilen genom att välja ut
modellens tvärsnitt och expandera dessa delområde längs z-axeln.
Figur 12. 3D-modell.
I ett järnvägspår sammanbinds betongslipers med rälfoten med hjälp av befästningar. I den
slutgiltiga tredimensionella modellen hålls ytorna av rälfot och sliper ihop som en
kontinuerlig kropp fastän kroppen har olika styvhet.
Nedan visas sliperns mått.
11
Spänningsfördelning i järnvägsräls
150 mm
150 mm
100mm
Figur 13. 3D-modell med en sliper.
4.3 Randsvillkor och materialparameter
Kontaktytan mellan sliper och makadamballastmaterialet fixeras i tre riktningar och detta
innebär i Trinitas att förskjutning av sliprarna i xz-planet (markplanet) omöjliggörs. Samtidigt
fastsätts sliprarna i sidled (i x-led) för att blockera sidflyttning av sliprarna.
Här nedan följer parametrar av betongsliper och rältyp UIC 60.
1. Räl UIC 60
N 
• E = 205 .10 9  2 
m 
• ν = 0,3
 kg 
• ρ = 7800  3 
m 
2. Betongsliper
N 
• E = 200 .10 6  2 
m 
• ν = 0,3
 kg 
• ρ = 2500  3 
m 
Figur 14. 3D-modell med gränsvillkor.
12
Spänningsfördelning i järnvägsräls
4.4 Kontaktkraft mellan hjul och räl
Kontaktkrafter som verkar på spåret kan delas upp i.
• Vertikal kraft
• Lateral kraft
• Längsgående kraft (undersöks ej i detta arbete)
Figur 15. Schematisk bild över kontaktkraft
Vertikala krafter beror på
• Spårets fjädrande förmåga
• Rältyp
• Mjukt eller hårt mellanlägg
• Ballastens kondition
• Fordonets massa
• Boggikonstruktion
• Ojämnheter i räl
• Orundhet i hjul
• Hastighet
Laterala krafter beror på
• Mjuk eller stel boggikonstruktion
• Gångegenskaper till exempel konicitet, friktion
• Spårets radie
• Spårvidd
• Hastighet
13
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Statiska krafter som har framkallats av fordonets vikt, rältyp, hastighet osv kallas vertikal och
lateral kraft. Krafterna härstammar från axellasten. Ett axeltryck på 20 ton som motsvarar
100 kN per hjul tillåts normalt. I detta examensarbete används
• Axeltryck på 18 ton, som är 90 kN per hjul, enligt Banverket
• Statiska krafter dvs. vertikal och lateral kraft
• Position av kontaktkraft mellan hjul och räl betraktas som en punkt i mitten av
rälhuvud (se Figur 15)
• Den vertikala kraften Fy = Fvertikal = 90 kN hålls konstant
•
14
Den laterala kraften Fx = Flateral varieras med 9, 18, 27, 36, 45 och 54 kN som svarar
mot 10, 20, 30, 40, 50 och 60 procent av den vertikala kraften
Spänningsfördelning i järnvägsräls
5 Finita Elementmetoden
I detta avsnitt beskrivs kort Finita Elementmetoden och den programvara som används för att
utföra simuleringar.
5.1 Teori
Finita elementmetoden är en av de mest kraftfulla numeriska verktyg som finns. Alla
fältproblem styrs av partiella differentialekvationer som gäller över ett visst område d v s fält,
i praktiken är detta område utsträckningen av konstruktionen. Med finita elementmetoden kan
man lösa sådana partiella differentialekvationer numeriskt. Då metoden gäller för godtyckliga
partiella differentialekvationer används den inte bara inom hållfasthetslära utan också
värmeledning, diffusion o s v.
Finita elementmetoden är en matrisbaserad metod för strukturanalys. Spänningar och
deformationer i kroppar med komplicerad form kan oftast inte beräknas med traditionell
hållfasthetslära. Istället används finita elementmetoden (FEM).
Metoden bygger på att man delar in beräkningsmodellen i ett antal element där man vet de
enskilda elementens styvhetsegenskaper. Genom att lägga ihop de olika elementens styvheter
kan hela strukturens styvhet beräknas. Därefter går det att beräkna strukturens förskjutning
och spänning.
Figur 16a. En simulering av modellen i Trinitas
15
Spänningsfördelning i järnvägsräls
5.2 Programvara
Vid detta arbete används programvaran Trinitas som är ett program utvecklat av professor Bo
Torstenfeldt, Linköpings Universitet, Avdelningen för Hållfasthetslära.
Trinitas består av preprocessor, beräkningsmodul och postprocessor.
1. I preprocessorn defineras geometri för den komponent som skall analyseras. Här
defineras även materialegenskaper, laster, randvillkor, elementnät osv.
2. Beräkningsmodulen är den del av programmet som läser in de ekvationer som
kommer att lösas.
3. Postprocessor ger möjligheten att utvärdera resultaten från finita elementanalysen,
dvs. spänningar, förskjutningar mm.
16
Spänningsfördelning i järnvägsräls
6 Resultat
Kapilet redovisar normalspänningsberäkningar av två olika fall, spänningsberäkning mitt
emellan sliprarna och över sliprarna, med variationen avseende sidokraft ( Flateral ) . Resultaten
presenteras i form av normalspäningsplottar som lagras i rapportens bilagor. Plottarna visar
normalspänning som funktion av position både under belastning och avlastning.
6.1 Styvhet av modell
Innan vi gör för omfattande beräkningar måste modellen justeras så att den får rätt styvhet.
Genom att titta på rälshuvudets förskjutningar i vertikal och lateral led lägger man på vertikal
och lateral kraft (en kraft i taget).
Figur 16. Förskjutningskurva i x-led, Fvertikal = 0 ; Flateral = 9kN .
På rälshuvudet placeras bara en lateral kraft ( Flateral = 9 kN) och då förflyttas rälen i x-led och
Hooks lag ger
Fx : kraft [N ]


N 
Fx = k x .δ x
där k x : strukturstyvhet  
m

 δ x : förskjutning [m]
17
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Fx = k x .δ x ⇔ k x =
Fx
δx
=
9000
 MN 
≈ 22 

0,00041
 m 
Figur 17. Förskjutningskurva i y-led, Fvertikal = 90kN ; Flateral = 0 .
På samma sätt placeras bara en vertikal kraft Fvertikal = 90kN på rälhuvudet och då förflyttas
rälen i y-led. Tecknet av förskjutningen i y-axeln om förskjutningen är positiv eller negativ,
beroende av om rälen påverkas av en dragkraft eller tryckkraft. Både sidor av rälen pressas
ned och rälmaterialet trycks ihop.
Hooks lag ger
Fy : kraft [N ]


N 
Fy = k y .δ y
där k y : strukturstyvhet  
m

 δ y : förskjutning [m]
Fy
90000
 MN 
Fy = k y .δ y ⇔ k y =
=
≈ 121

δ y 0,00074
 m 
Den styvhet som erhålls är OK.
18
Spänningsfördelning i järnvägsräls
6.2 Punktval på rälsprofil
Baksidan
Framsidan
. .B
C . .D
A
Figur 18. 3D-modellens tvärsnitt och punktval
Under detta arbete undersökes de största spänningar som finns i rälen. Eftersom modellens
tvärsnitt har byggts upp i form av en I-balk studeras den smalaste delen (rällivet) som anses
vara det kritiska och avgörande området, där naturligtvis den största normalspänning
uppträder.
Punkter A och B sitter i mitten på rällivet, och där placeras givarna för mätning av
normaltöjning. De övriga punkterna C och D ligger parallellt med punkterna A och B på
rällivet och befinner sig på cirka 50 millimeters avstånd från xz-planet (markplanet).
Punkterna C och D har andra normalspänningar än i punkterna A och B eftersom de ligger
längst ned på den smalaste delen av rälen och har i fallet med lateral kraft längre hävarm från
rälhuvudet där vertikal och lateral belastning verkar.
Figur 19a. Schematisk bild över räl med valpunkter A, B, C, D.
19
Spänningsfördelning i järnvägsräls
6.3 Simuleringar av modell
Den största delen av detta examensarbete har gått åt till att genomföra simuleringar med
FEM-programmet Trinitas. Att utföra spänningsmätningar av den slutgiltiga modellen kräver
både beräkningstid och datorkapacitet. Därför ska vi testa olika möjligheter för att hitta en
lösning som kan ge tillräckligt noggranna resultat.
Till sist väljes den 20-nodiga (Serendipity) solidelementet för att utföra simuleringen.
6.3.1 Spänning mellan sliprar vid A och B
Innan spänningskurvor längs rälen plottas defineras fyra linjer a, b, c, d nedan.(se Figur 19a,b)
1. Linjen a sträcker sig i längdriktningen av rälen genom punkten A.
2. Linjen b sträcker sig i längdriktningen av rälen genom punkten B.
3. Linjen c sträcker sig i längdriktningen av rälen genom punkten C.
4. Linjen d sträcker sig i längdriktningen av rälen genom punkten D.
Dessa linjer går parallellt med varandra och de har samma längd.
Rälhuvud
Linje b
Rälliv
A
C
..
..
B
Linje a
Linje d
Linje c
D
Rälfot
Figur 19b. Schematisk bild över 3D-modell med linje a, b, c, d.
20
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Figur 20. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 90kN , Flateral = 0 .
Spänningskurvorna på framsidan och baksidan av modellen får samma maxvärde då
kontaktkraften Fvertikal = 90kN läggs på. Detta betyder att båda sidorna av rälen har samma
tryckspänning i y-led tack vare den symmetriska geometri som modellen har.
21
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Figur 21. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 0 Flateral = 9kN .
Figur 22. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 0 Flateral = 18kN .
22
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Figur 23. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 0 Flateral = 27 kN .
Figur 24. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 0 Flateral = 36kN .
23
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Figur 25. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 0 Flateral = 45kN .
Figur 26. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 0 Flateral = 54kN .
24
Spänningsfördelning i järnvägsräls
I figurerna 21 till 26 varieras storlek av den laterala kraften från 9 till 54 kN medan den
vertikala kraften tas bort. När man ökar denna sidokraft på rälen så kommer
normalspänningarna att öka och avta lika mycket på baksidan som på framsidan längs linje a
och b. Normalspänningskurvorna går åt motsats håll och når samma spänningsvärde vid
topppunkterna vilket gör att spänningsmedelvärdet mellan framsidan och baksidan av rälen
blir noll (se tabell 01). I detta fall beräknas normalspänningsskillnaden mellan de två
kurvorna.
Tabell 01. Spänningsskillnaden, Fvertikal = 0 .
Sigma yy längs linje a
Sigma yy längs linje a
Sigma yy mellan a och b
70
60
Normalspänning [Mpa]
50
40
30
20
10
0
-10
0
10
20
30
40
50
-20
-30
-40
Lateral kraft [kN]
Figur 27. Spänning vid punkterna A och B.
25
60
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Om man ökar sidokraften med 9 kN (motsvarande 10 procent av den vertikala
konstantkraften) växer normalspänningen omkring 5 MPa på dragsidan och samtidigt avtar
den 5 MPa på trycksidan.
Detta innebär att den del av rälens tvärsnittarea som deformeras på grund av dragspänningen
är lika stor som den del av rälens tvärsnittarea som deformeras på grund av tryckspänningen.
26
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Figur 28. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 90kN Flateral = 9kN .
Figur 29. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 90kN Flateral = 18kN .
27
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Figur 30. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 90kN Flateral = 27 kN .
Figur 31. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 90kN Flateral = 36kN .
28
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Figur 32. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 90kN Flateral = 45kN .
Figur 33. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 90kN Flateral = 54kN .
29
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Den största dragspänningen och tryckspänningen i rälen erhålls i mitten då den vertikala
kraften hålls konstant Fvertikal = 90kN och laterala kraften varieras från 9 kN till 54 kN.
Spänningskurvorna går åt samma håll och storleken av spänningsamplituden på framsidan är
högre än på baksidan.
När man ökar den laterala kraften från 9 kN till 36 kN (se Tabell 02) pressas både framsidan
och baksidan ned och rälmaterialet komprimmeras på grund av den stora vertikala
konstantkraften.
Fortsätter man att öka den lateral kraften 45 kN växlar det från tryckspänning till
dragspänning på baksidan. Detta betyder att den ökande sidokraften blir tillräckligt stor i
förhållande till den vertikala konstantkraften för att ge dragtöjning av rällivet på baksidan.
Spänningsstegets storlek på både sidorna växer och avtar lika mycket. Om spänningarna på
baksidan växer cirka 5 MPa sjunker spänningarna på framsidan cirka 5 MPa, se Figur 28 till
33. Med andra ord sker spänningsökningen och spänningsminskningen i y-led helt jämmt för
båda sidorna av rällivet.
I detta fall är det intressant att beräkna spänningsmedelvärde och från Tabell 02 erhålls det till
omkring -21 Mpa, vilket är den spänning som erhölls i Figur 20.
Tabell 02. Spänningsmedelvärde, Fvertikal = 90kN .
30
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Sigma yy längs linje a
Sigma yy längs linje b
Sigma yy medelvärde
20
Normalspänning [MPa]
10
0
0
10
20
30
40
50
-10
-20
-30
-40
-50
-60
Lateral kraft [kN]
Figur 34. Spänning vid punkterna A och B.
6.3.2 Spänning över sliprar vid A och B
Likaså erhålls nedan Tabell 03 och 04 (se Figur 43-48 och 49-54 i Bilagor)
Tabell 03. Spänningsskillnaden, Fvertikal = 0 .
31
60
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Sigma yy längs linje a
Sigma yy längs linje b
Sigma yy mellan a och b
120
Normalspänning [MPa]
100
80
60
40
20
0
-20
0
10
20
30
40
50
60
-40
-60
Lateral kraft [kN]
Figur 35. Spänning över en sliper vid punkterna A och B.
Tabell 04. Spänningsmedelvärde längs linje a och b, Fvertikal = 90kN .
32
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Sigma yy längs linje a
Sigma yy längs linje b
Sigma yy medelvärde
40
Normalspänning [MPa]
20
0
0
10
20
30
40
50
60
-20
-40
-60
-80
-100
Lateral kraft [kN]
Figur 36. Spänning över en sliper vid punkterna A och B.
I Figurerna 43 till 48 i Bilagor varieras storleken av lateral kraft från 9 till 54 kN medan den
vertikala kraften avlägsnas. När man har ökat denna sidokraft på rälen så kommer
dragspänningen och tryckspänningen att stiga mycket jämmt på båda sidorna längs linje a och
b
Figurerna 49 till 54 visar att spänningsstegets storlek på båda sidorna växer och avtar lika
mycket. Om normalspänningen på baksidan ökar cirka 9 MPa minskas spänningnen 9 MPa på
framsidan.
Spänningsmedelvärde över sliprar (Tabell 04) erhålls till omkring 29 MPa vilket är cirka 28
procent högre än spänningsmedelvärdet mitt emellan sliprarna.
6.3.3 Spänning mellan sliprar vid C och D
Enligt antagande på sidan 38 bör sidokraften inte överskrida 30 procent av den vertikala
belastningen. Därför väljes Fx = Fmax = 27 kN och Fy = 90 kN för undersökningen för
enkelhetsskull.
Uppskattning av (se Figur 58 och 59 i Bilagor) spänningsskillnaden mellan punkt C och D ger
cirka 68 MPa och maxpänningen är cirka 46 MPa.
6.3.4 Spänning över sliprar vid C och D
På motsvarande sätt (se Figur 56 och 57 i Bilagor) är resultatet av beräkning av
spänningsskillnaden vid C och D cirka 126 MPa och maxpänningen är cirka 86 MPa.
33
Spänningsfördelning i järnvägsräls
6.3.5 Spänning mellan sliprar vid D, B och F
För beräkningar av normalspänning vid rälhuvudet läggs ytterligare två punkter E (baksidan)
och F (framsidan) längst upp på rällivet. Det definerar två linjer, enligt nedan.
• Linjen e går längs rälen genom punkten E
• Linjen f går längs rälen genom punkten F
Figur 37. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 90kN , Flateral = 0 .
När man lägger på endast den vertikala konstantkraften Fvertikal = 90kN på rälhuvudet erhåller
man lika stora tryckspänningar både på framsidan och baksidan tack vare den symmetriska
modellen. Dessa tryckspänningar längs linjerna d (vid rälfoten), b (vid rällivet) och f (vid
rälhuvudet) är cirka 11 MPa, 21 MPa och 39 MPa.
34
Spänningsfördelning i järnvägsräls
6.3.6 Spänning över sliprar vid D, B och F
Figur 38. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 90kN , Flateral = 0 .
Likaså tryckspänningar över sliprarna vid rälfoten, rällivet och rälhuvudet är cirka 29 MPa, 21
MPa och 45 MPa.
Enligt Figur 37 och 38 erhålls den största normalspänningen över sliparna vid rälhuvudet och
den är 45 MPa då den vertikala kraften verkar på rälen.
35
Spänningsfördelning i järnvägsräls
6.4 Jämförelse med Banverkets mätningar
Figur 39. Schematiska bild över räl med åtta töjningsgivare.
Töjningsgivarna 1 och 2 respektive 6 och 7 har samma uppgift för mätning av normaltöjning,
både på framsidan och baksidan av rällivet mitt emellan sliprarna fastän avståndet mellan 1
och 2 respektive 6 och 7 är 1,2 m.
På samma sätt har töjningsgivarna 4 och 5 respektive 8 och 9 samma uppgift för mätning av
normaltöjning både på framsidan och baksidan över sliprarna i rällivet och avståndet mellan
dem är 1,2 m.
36
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Figur 40. Normaltöjningskurvor av givare 1, 2, 6, 7.
Figure 40 visar att den största töjningsskillnad mellan 1 och 2 är omkring 150 µm/m vid
tågpassage
Hooks lag ger (longitudinella spänningar försummas)
ε yy =
σ yy
E
⇒ σ yy = E.ε yy ⇔ (σ yy )MAX = E . (ε YY ) MAX
Maxspänning i y-led mitt mellan sliprar blir
(σ )
yy MAX
= 205.10 9.150.10 −6 = 30750000 ≈ 31[MPa ] .....................................(i)
Enligt Tabell 01 får vi spänningsskillnaden mellan 1 och 2 som är cirka 30 [MPa] som
motsvarar sidokraften Flateral = 27 kN ...............................................................(ii)
Med (i) och (ii) inses att (se Figur 23) spänningsskillnaden längs linje a och linje b beräknas
vara omkring 30 [MPa] som är 1 MPa mindre än maxspänningen (i), vilket är en god
överensstämmelse.
Detta betyder att den laterala kraften är cirka 30 procent av den vertikala kraften då
normalspänning i y-led når sitt största värde. Den maximala sidokraften bör inte överskrida 27
kN vilket motsvarar 30 procent av den vertikala kraften. (*)
37
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Figur 41. Normaltöjningskurvor av givare 4, 5, 8, 9.
På samma sätt ser vi i Figur 39 att den största töjningsskillnad mellan 8 och 9 som erhålls är
omkring 260 µm/m när loket passerar.
Hooks lag ger
ε yy =
σ yy
E
⇒ σ yy = E.ε yy ⇔ (σ yy )MAX = E . (ε YY ) MAX
Maxspänning i y-led över sliprar blir
(σ )
yy MAX
= 205.10 9.260.10 −6 = 53300000 ≈ 53 [MPa ] .....................................(iii)
Enligt tabell 03 erhålls spänningsskillnaden mellan 4 och 5 som är cirka 51 [MPa] som
motsvarar sidokraften Flateral = 27 kN ...............................................................(vi)
Med (iii) och (vi) inses att (se Figur 45 i Bilagor) normalspänningsskillnaden längs linje a och
linje b beräknas vara omkring 51 [MPa] som är 2 MPa mindre än den maximala
normalspänningen (iii).
Detta innebär att den laterala kraften är cirka 30 procent av den vertikala kraften då
normalspänning i y-led når sitt största värde. (**)
Från (*) och (**) drar vi slutsatsen att den laterala kraften är cirka 30 procent av den vertikala
kraften.
38
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Fx = 27 kN
σ
Fy = 90 kN
[MPa]
Mellan
sliprar
Över sliprar
σ max
σm =
σ a ,c + σ b, d
σ skill . = σ b, d − σ a , c
2
σ 1 (a,b)
36
21
30
σ 2 (c,d)
46
12
68
σ 3 (a,b)
55
29
52
σ 4 (c,d)
86
23
126
Tabell 05. Maxspänning längs linje a, b, c, d.
Av Tabell 05 kan följande slutsatser dras
• Den största normalspänningen är cirka 86 MPa längs linje d över sliprarna.
• Det största spänningsmedelvärdet är cirka 29 MPa längs linje a och b över sliprarna.
• Den största spänningskillnaden är cirka 126 MPa mellan linje c och d över sliprarna.
• Maxspänningen längs linje b mellan sliprarna var 35 procent lägre än maxspänningen
längs linje b över sliprarna.
• Maxspänningen längs linje d mellan sliprarna var 47 procent lägre än maxspänningen
längs linje d över sliprarna.
39
Spänningsfördelning i järnvägsräls
7 Slutsatser, diskusion och fortsatt arbete
I detta kapitel diskuteras erfarenheter från utförd studie. Kapitlet innehåller även en
diskussion kring erhållna resultat från de genomförda beräkningarna med hjälp av finita
elementmetoden (FEM) och slutligen presenteras de slutsataser som dragits ur detta
examensarbete samt förslag till vidare studier.
För mätning av kontaktkraften mellan hjul och räl när fordon trafikerar järnvägar placeras
töjningsgivare både på utsidan och insidan på rällivet.
Töjningsgivare mäter vertikal normaltöjning och med hjälp av Hooks lag σ = E. ε bestäms
normalspänning som verkar på rälen.
När bara sidokraften ökas kommer normalspänningen att ändras symmetriskt på båda sidorna
längs rällivet. Normalspänningskurvor (se Figur 21-26 och 43-48) går åt motsat håll och får
samma värde vid toppunkterna, alltså spänningsmedelvärdet mellan framsidan och baksidan
av rälen blir noll både för beräkning av normalspänning över sliprarna och mellan sliprarna.
För beräkning av normalspänningsskillnaden över sliprarna och mellan sliprarna uppskattas
cirka 10 MPa och 17 MPa (se Tabell 01, 03). Skillnaden mellan dem är stor.
Spänningsskillnaden över sliprarna var omkring 41 procent högre än mellan sliprarna längs
linje a och b.
Normalspänningskurvorna (Figur 28-33 och Figur 49-54) för framsidan och baksidan ser helt
olika ut när både vertikala och laterala krafterna läggs på. Den vertikala kraften hålls konstant
med Fvertikal = 90kN och laterala kraften varieras från 9 kN till 54 kN motsvarande från 10 till
60 procent av denna vertikalkraft. Spänningkurvorna visar att spänningsstegets storlek på
baksidan växer lika mycket som spänningsstegets storlek på framsidan avtar.
Normalspänningskurvorna går åt samma håll fast deras spänningsamplitud når olika nivåer.
Beräkning av spänningsamplituden på framsidan resulterar i högre värden än beräkning av
spänningsamplituden på baksidan.
40
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Den största normalspänningen längs linje b mitt emellan sliprarna i rällivet var cirka 35
procent lägre än maxspänningen över sliprarna. Spänningsmedelvärdet över sliprarna i rällivet
har maxvärdet 29 Mpa, vilket är 28 procent mer än det maximala spänningsmedelvärdet mitt
emellan sliprarna (se Tabell 05).
Längs linje d på framsidan, enligt Tabell 05, erhålls den största spänningen σ 4 = 86 MPa som
är 36 procent högre än maxspänningen längs linje b över sliprarna.
Sammanfattningsvis kan alltså slutsatserna dras att
1. Maxspänningen över sliprarna är cirka 35 procent högre än mitt emellan sliprarna
2. Den största normalspänningen uppmätes till 86 MPa längs linje d över sliprarna
3. Spänningarna varierar linjärt i y-led
4. Den laterala maxbelastningen är omkring 30 procent av den vertikala belastningen.
Följande kan förändras och undersökas vid fortsatta studier:
1. Geometrin av modellen och silprarna som framställs är enkla
2. Normaltöjning, enligt Hooks lag beror också av temperatur som försummas i detta
arbete. Temperaturlasten påverkar oerhört stort normaltöjningarna.
3. Dynamisk last, en massa körs längs rälen istället för en konstant eller varierande kraft.
4. Järnvägsrälen som har undersökts är helt rak. Spårkurvor med olika radier framkallar
en lateral kraft när ett tåg passerar.
41
Spänningsfördelning i järnvägsräls
8 Bibliografi
1. Dahlberg Tore (2003). Railway track dynamics – a survey. Rapport LiTH-IKP-R1313. Avdelningen för hållfasthetslära, IKP, Linköpings Universitet, Sverige.
2. Dahlberg Tore (2001). Teknisk Hållfasthetslära. tredje upplagan, Lund.
Studentlitteratur. ISBN: 91-44-01920-3.
3. Dahlberg Tore (2001). Formelsamling i hållfasthetslära. tredje upplagan,
Studentlitteratur.
4. Sundström Bengt (1999). Handbok och formelsamling i Hållfasthetslära. Institutionen
för hållfasthetslära, KTH.
5. Niels Ottosen & Hans Petersson (1992). Introduction to the Finite Element Method.
University of Lund, Sweden.
6. Jerome Sedbon & Damien Vivier (2006). Stress analyses in railway rail. LiTH-IKP
42
Spänningsfördelning i järnvägsräls
9 Bilagor
9.1 Bilaga 1
Figur 42. En riktig räl-UIC 60.
43
Spänningsfördelning i järnvägsräls
9.2 Bilaga 2
Spänning över sliprar vid A och B
Figur 43. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 0 Flateral = 9kN .
Figur 44. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 0 Flateral = 18kN .
44
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Figur 45. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 0 Flateral = 27 kN
Figur 46. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 0 Flateral = 36kN .
45
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Figur 47. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 0 Flateral = 45kN .
Figur 48. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 0 Flateral = 54kN
46
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Figur 49. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 90kN Flateral = 9kN .
Figur 50. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 90kN Flateral = 18kN .
47
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Figur 51. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 90kN Flateral = 27 kN .
Figur 52. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 90kN Flateral = 36kN .
48
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Figur 53. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 90kN Flateral = 45kN .
Figur 54. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 90kN Flateral = 54kN .
49
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Figur 55. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 90kN Flateral = 0 .
50
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Spänning över sliprar vid C och D
Figur 56. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 0 Flateral = 27 kN .
Figur 57. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 90kN Flateral = 27 kN .
51
Spänningsfördelning i järnvägsräls
Spänning mellan sliprar vid C och D
Figur 58. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 0 Flateral = 27 kN .
Figur 59. Normalspänning (σ yy ) , Fvertikal = 90kN Flateral = 27 kN .
52