10
Draghållfasthet
Hookes lag och
formändringslagen
Vi utgår från att de material vi behandlar är linjärt elastiska, vilket
innebär att det föreligger ett linjärt samband mellan spänning (kraft) och
töjning (deformation)
σ = E ⋅ε
Detta samband har fått namnet Hookes lag efter engelsmannen Robert
Hook (1635-1703) som var den förste att påvisa sambandet mellan kraft
och deformation.
E är beteckningen för elasticitetsmodulen, en materialkoefficient som är
ett mått på ett materials styvhet. Eftersom töjningen ε är dimensionslös
får elasticitetsmodulen E samma dimension som spänningen σ, alltså
kraft per area, MPa (N/mm 2).
Ett material med hög elasticitetsmodul t ex stål med E = 210 000 MPa är
föga elastiskt medan ett material med låg elasticitetsmodul t ex gummi
med E mellan 2 och 20 MPa är mycket elastiskt.
Om vi i Hookes lag ersätter spänningen σ enligt spänningslagen med
(=
F
A
N
∆L
) och ε enligt definitionen på töjning med
erhåller vi sedan vi
A
L0
löst ut längdändringen ∆L den sk formändringslagen:
F ⋅ L0
E⋅A
∆L =
Egentyngden kan försummas i de flesta fall då den är liten i jämförelse
med övriga krafter. Vid långa element t ex gruvlinor är egentyngden dock
så stor att vi måste ta hänsyn till den. Linans tyngdpunkt ligger av
symmetriskäl på linans halva längd och egentyngden G kan då betraktas
som verkande i denna.
∆LG =
G ⋅ L0
2⋅E ⋅ A
Har vi samtidigt i linans ände en hisskorg med last som påverkar linan
med kraften F, så får den totala längändringen ∆Ltot bidraget:
∆LF =
F ⋅ L0
E⋅A
Vi tillämpar nu superpositionslagen. Den säger att om en kropp påverkas
av flera av varandra oberoende krafter som vardera åstadkommer en
elastisk formändring så får vi lägga ihop de enskilda formändringarna för
att få den totala:
∆Ltot =
F ⋅ L0 G ⋅ L0
+
E ⋅ A 2⋅E ⋅ A
