Hållfasthetslära

Hållfasthetslära
VT2 7,5 p halvfart
Janne Carlsson
Torsdag 30:e Mars 13:15 – 17:00
Föreläsning 2 PPU203 Hållfasthetslära
• Eftermiddagens agenda
•
•
•
•
Tips inför INL1.1
Fortsättning från föreläsning 1
Rast
Föreläsning 2:
• Normaltöjning – Deformation
• Längre rast
• Räkneövning
2
Inlämningsuppgift 1
• En balk med tyngden
1200 N ligger på
tre identiska pelare
• Bestäm reaktionskrafterna mellan pelarna och balken
under olika förutsättningar (5p)
• Vad är högsta respektive lägsta lasten den mittersta pelaren kan
ta upp? (2p)
• Var i balken uppkommer högsta drag- och tryckspänning? (3p)
• Ange ett antal ungefärliga punkter på balken
• Inlämnas till Janne senast v15 (16:e april)
3
• Vad påverkar resultatet?
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Balkens viktfördelning
Balkens rakhet och övriga toleranser
Pelarnas toleranser
Balkens böjstyvhet
Pelarnas styvhet
Underlagets jämnhet
Lufttrycket
Temperaturen
Gravitationen
• Vad är viktigt att ta med?
•
•
•
•
•
•
Balkens viktfördelning – jämnt fördelad i detta fall
Balkens rakhet och övriga toleranser
Pelarnas toleranser
Balkens böjstyvhet
Pelarnas styvhet
Underlagets jämnhet
4
• Vi kan göra 3 olika modeller
• Elastisk balk på stela stöd
• Stel balk på fjädrande stöd
• Stel balk med stela stöd och toleranser
• Att välja rätt modell är den ingenjörsmässiga delen av
problemet!
• Resten är ”bara” mekanik och tillämpad matematik
• De vanligaste felen i industrin är, enligt min erfarenhet,
val av fel modell
5
• Elastisk balk på stela stöd
• Problemet är statiskt obestämt och går inte att lösa utan kunskap
om materialet
• Vi kan ändå göra uppskattningar!
• Dela upp balken i två delar så blir problemet statiskt bestämt
• Vad händer sedan när vi fogar samman balkdelarna igen?
6
• Högsta respektive lägsta lasten för mittersta pelaren?
• Det beror på vilka förutsättningar ni valt
• Var i balken uppkommer högsta drag- och tryckspänning?
• Drag- och tryckspänningar uppkommer på dragna respektive
tryckta sidan av balken vid böjning.
• Högsta spänningar där balken böjer sig mest.
• Balken böjer sig mycket där böjmomentet är stort.
• Fundera på hur en mycket elastisk balk böjer sig när den ligger
på tre stöd enligt figuren ovan.
7
Kraft och Spänning?
• Vad är Kraft?
• Vad är Spänning?
8
Normalspänning
• Vid enkla fall som t.ex. dragning av en stång blir
spänningen parallell med snittytans normal och vi har då
enbart normalspänning verkande på den ytan
9
Exempel
• M6 8.8 skruv dragen med 10 kN förspänning
• Vad blir normalspänningen?
• Vad blir säkerhetsfaktorn?
10
Jämviktsekvation med
normalspänning och volymkraft
• Volymskrafter verkar på varje volymselement av kroppen
•
•
•
•
Exempelvis
Gravitation
Tröghetskrafter
Magnetiska krafter
• Jämvikt med normalspänning och volymkraft
•
𝑑𝜎𝑥 (𝑥)
𝑑𝑥
+ 𝑘𝑥 𝑥 = 0
11
Rast
• En kort bensträckare på 10 minuter
12
Normaltöjning - Deformation
• Förskjutning – Deformation – Töjning
• Förskjutning
• Någonting har flyttat på sig en viss sträcka – förskjutningen
• Har vi en deformation vid alla förskjutningar?
• Om allt rör sig samma sträcka?
• Nej, ren translation
• Om olika delar rör sig olika sträckor?
• Det kan vara en rotation
• Om delar rör sig relativt varandra?
• Då har vi en deformation
• Förskjutningen kan delas upp i:
• Translation – Rotation - Deformation
13
Deformation
• Deformation kan delas upp i:
• Volymsändring – Formändring
• Om en stång med ursprunglig längd L0 förlängs så att den
får längden L så blir deformationen d = L – L0
• d (delta) är grekiskans d
14
Normaltöjning
• Om en stång med ursprunglig längd L0 fick deformationen
d så vill vi kunna beskriva denna deformation per
längdenhet.
•𝜀=
𝛿
𝐿0
• Detta samband gäller bara då töjningen är konstant
15
Förskjutning och normaltöjning
• Om töjningen varierar längs en stång så måste vi definiera
töjningen annorlunda
•𝜀 𝑥 =
•𝑢 𝑥 =
𝑑𝑢 𝑥
𝑑𝑥
𝜀 𝑥 𝑑𝑥
• 𝛿 = 𝑢 𝐿0 − u 0 =
𝐿0
𝜀
0
𝑥 𝑑𝑥
16
Sann töjning – logaritmisk töjning
•𝜀=
𝛿
𝐿0
kallas för linjär töjning
• 𝜀1 + 𝜀2 ≠ 𝜀2 + 𝜀1 när man räknar med linjär töjning
• Genom att teckna totala töjningen som summan av
(oändligt) många deltöjningar får vi töjningen som
integralen
•𝜀=
𝑑𝜀 =
𝑑𝐿
𝐿
= ln(1 +
𝛿
)
𝐿0
• Linjär töjning duger utmärkt vid elastiska deformationer
17
Mätning av normaltöjning
• Deformation kan mätas med extensiometrar
• Kan ge töjningen om den är konstant över mätsträckan
• Lokal töjning kan mätas med töjningsgivare
• En tunn folie töjs och ändrar då sin resistans
• 𝑅=
𝑑𝑅
𝜌𝐿
𝐴
• 𝑅 = 𝑘𝜀, där k är givarfaktorn, ofta 2
• Givaren ger en mycket liten resistansändring som mäts i en
obalansbrygga, Wheatstones brygga
18