1
Föreläsning 5:
Acceleration och tidsderivering (kap. 2.12-2.15)
Komihåg 4:
•Vinkelhastighetsvektorn " = #˙e z .
• Skillnadsvektorn mellan två punkter i stel kropp kan bara
vrida sig: r˙BA = " # rBA .
•Sambandet mellan olika punkters hastigheter i en stel
kropp: v A = v B +!" # rBA . A rör sig i cirkel kring B!
!
Accelerationssamband i stel kropp
! Derivera med kroppsfix referenspunkt B:
˙BA
a A = a B + "˙ # rBA + " # r{
= "#rBA
= a B + "˙ # rBA + " # (" # rBA )
Resultatet är en sambandsformel för två kroppsfixa
punkters (A och B) accelerationer.
!
!
Obs: För plan rörelse är "˙ och " parallella, dvs ut eller in
i planet. Bidraget "˙ # rBA är då i den ’relativa cirkelns’
tangentriktning. Bidraget " # (" # rBA ) är riktat i
normalriktningen
! B!
! in mot
!
!
2
!
!
!
!
Övning: Uttryck för plan rörelse bidragen "˙ # rBA och
" # (" # rBA ) i cylinderriktningarna e r och e" sett från B.
Skiss: Låt " = #˙e z , "˙ = #˙˙e z , samt rBA = dBAe r . Detta ger:
"˙ # rBA = $˙˙e z # dBAe r = dBA$˙˙e$ , samt
!
" # (" # rBA ) = $˙e z # ($˙e z #!dBAe r )!= %dBA$˙ 2e r .
14243
!d BA$˙e $
!
!
Sammantaget: a A = a B " dBA#˙ 2e r + dBA#˙˙e# .
Obs: Om referenspunkten är ett momentancentrum C med
v C = 0 , gäller enligt tidigare formel v A = " # rCA , varför
!
accelerationsformeln
blir a A = a C + "˙ # rCA + " # v A
snarare än a A = a B + "˙ # rBA + " # ( v A $ v B )
!
Rullning utan!glidning
!
När ett hjul rullar plant utan att glida mot horisontellt
underlag finns ett samband mellan dess vinkelhastighet
och mittpunktens förflyttning. Momentant är
kontaktpunkten i vila (eftersom den inte glider mot
underlaget) och är alltså ett momentancentrum C. Med
momentancentrum som referenspunkt beskrivs andra
3
punkters hastigheter med formeln: v A = " # rCA , och
accelerationerna med: a A = a C + "˙ # rCA + " # v A .
!
För mittpunkten B gäller att den rör sig parallellt med
! C på underlaget.
kontaktpunktens läge under
! av C motsvarar båglängdens ökning för de
Förflyttningen
punkter på hjulet som haft kontakt med underlaget. För
rak rörelse åt höger är hastighetsriktningen konstant:
˙
v B = "R#˙e X , och " är negativ. Detta uttryck kan deriveras
för att få accelerationen: a B = "R#˙˙e X
Exempel: Betrakta a) hastigheter och b) accelerationer i
olika punkter
på ett hjul som rullar med konstant vinkel!
hastighet.
!
Lösning: a) Hastigheterna i tre enkla punkter på hjulet
visas i figuren. Vi har ett hastighets(momentan-)centrum i
C. Pga olika avstånd från C ger vårt samband v A = 2v B .
"
A
vA
!
B
!
!
vB
!
C
!
b) Accelerationerna i tre enkla punkter på hjulet visas i
figuren. !
Vi har ett accelerationscentrum i B ( a = 0 )
B
eftersom B (centrum) rör sig med konstant hastighet.
OBS:
! Den enklaste punkten att analysera är B!!!
!
4
"
aA
aB = 0
aC
!
!
Vi använder sedan sambandet i en stel kropp med konstant
rotation:
a B = a C + " # v B , där ju a B = 0 av samma skäl.
!
Detta !
implicerar a C = "# $ v B = (0,# 2 R,0) . På samma sätt
gäller för punkten A relativt C:
a = a C + " # v A = " # (v{A $ v B ) = " # v B = $a C .
!A
!
2v B
!
Utväxling-kugghjul och remkoppling
!
Betrakta två hjul som roterar kring
fixa, parallella axlar. Om hjulen är
i kontakt med varandra och
kontaktpunkterna inte glider mot
varandra, måste dessa ha samma
hastighet.
Man har då rA" A = rB" B .
Samma relation gäller om hjulen
separeras och i stället förbinds
! en rem. Vad är skillnaden?
med
5
Rullning på krökt underlag*(Skissa)
Betrakta en cylinderformad kropps rullning inuti ett större,
vilande cylinderskal.
Hastigheter: Vi inför vinkeln
" som beskriver läget av den
rullande cylinderns mittpunkt
(även kontaktpunkt mot väggen). Vi inför också vinkeln
!
" som anger absolut vridning
av rullande cylindern.
Masscentrums hastighet kan
beskrivas från O som är i vila
!
och ifrån C som är momentancentrum.
!
!
!
De två alternativa uttrycken måste, bortsett från
!
teckenkonventioner, överensstämma: vG = (R " r)#˙ = r$˙ .
Detta ger en relation mellan två vinkelhastigheter som var
för sig kan användas till att beskriva masscentrums
rörelse!
!
Inför sedan naturliga riktningar:
e t = (cos",sin ",0) och e n = ("sin #,cos #,0) .
Då blir masscentrums hastighet som vektor:
(1)
vG = (R " r)#˙ e t = r"˙e t .
Den sista likheten följer också från analys av rörelsen sett
!
från lilla cylinderns momentancentrum. Då är " = #$˙e z
och rCG =!re n , som återigen ger v G = "#˙re z $ e n = r#˙e t .
123
"e t
Masscentrums beskriver en cirkelrörelse!
!
!
!
6
Accelerationer**: Masscentrums acceleration kan fås
genom att tidsdifferentiera ekvation (1):
˙ t = (R " r)#˙˙e t + (R " r)#˙ 2e n .
a G = (R " r)#˙˙e t + (R " r)#˙ e{
#˙e n
˙ 2
˙
r
"
r#
Alternativt med "˙ =
fås a G = r"˙˙e t +
en .
!
R#r
R$r
( )
!
Med detta som referensacceleration i kroppen erhålls
sedan andra punkters acceleration enligt sambandet
!# (" # r ) . Med B = G och A = C
˙ # rBA + "
a A = a!
B +"
BA
(momentancentrum) erhålls:
a C = a G + "˙ # rGC + " # (" # rGC ) =
a " #˙˙e $ ("re ) " #˙e $ "!#˙e $ ("re !) =
!
G
z
r"˙˙e t
!
!
z
[(
z
)
]
2
%
(
e n + r"˙˙e z $ e n # "˙e z $ 'r"˙ e z $ e n *
123
' 123*
R#r
#e t
#e t
&
)
r"˙
( )
+
2
( )
=
#e n
Är inte detta ett märkligt resultat??
!
!
n
%
(
$
r '
e n # r"˙ 2 e z $ 'e z $ e n * = r"˙ 2 &1+
)e n .
1
2
3
% R # r(
'
*
R#r
#e t
&
)
14243
r"˙
!
n
7
Tidsderivator relativt olika referenssystem
Vi har tidigare nämnt det fixa inertialsystemet och ett
kroppsfixt koordinatsystem. En godtycklig fix punkt i en
stel kropp kan då beskrivas av vektorn: rA = rB + rBA , där
rBA är kroppsfix och kan bara vrida sig, inte bli längre.
!
!
!
För en rörlig punkt A på stela kroppen (en insekt som
!
kryper omkring) gäller samma uppdelning som tidigare
rA = rB + rBA , men vid tidsderivering fås istället:
r˙BA = (x BA e˙ x + y BA e˙ y + zBA e˙ z ) + ( x˙ BA e x + y˙ BA e y + z˙BA e z )
!
= " # rBA + (r˙BA ) xyz .
Beteckningen (r˙BA ) xyz
! betyder att koordinatsystemets
! riktningar
! i kroppen betraktas som fixa i tidsderiveringen.
!
8
Samband mellan absolut och relativ tidsderivata
• En skillnadsvektor typ rBA (= rA " rB ) mellan två
fysikaliska punkter är en riktig vektor, till skillnad från en
enskild lägevektor (t.ex. rA ). En riktig vektor beror ej av
origo som vanligtvis väljs (godtyckligt) för ett koordinat!
system.
• Varje annan riktig vektor V kan på samma sätt delas
upp i både fixa!riktningar e XYZ och rörliga (kroppsfixa)
riktningar e xyz . Gör man en tidsderivering i det första fallet
(fix bas) får man den
! vanliga absoluta tidsderivatan. Gör
man en tidsderivering
i det andra fallet (rörlig bas) får man
!
två bidrag: dels från koordinatändringar, dels från (rörliga)
!
basvektorers
vridning.
• Båda resultaten av tidsderivering är giltiga och vi får för
en godtycklig vektorstorhet likheten:
˙ = (V
˙ ) + " # V,
V
xyz
˙)
där ( V
!
xyz
betyder tidsderivering relativt ’rörligt
koordinatsystem’, och " # V är derivatans bidrag på
!
!
grund av!att rörliga basvektorer roterar sett i
inertialsystemet.
!
OBS: Vektorstorheter för punkten A i bilden skulle kunnna vara:
Hastighet, rörelsemängd, etc… .
