LINJÄR ALGEBRA II
LEKTION 7
JOHAN ASPLUND
I
1. Ortogonala matriser och spektralsatsen
Uppgifter
7.1:13
7.2:2
7.2:11
Extrauppgift från tenta
1
1
1
2
3
3
1. O
Vi kommer nu studera vissa matriser, som kallas för ortogonala.
Definition 1.1 (Ortogonal matris). En kvadratisk matris A ∈ Rn×n kallas för ortogonal om A−1 = AT , det
vill säga om
AAT = AT A = I .
Om en matris A är ortogonal, så är kolonnföljden {A•1 , . . . , A•n } en är ON-bas i Rn med avseende
på den Euklidiska inre produkten.
Sats 1.2. För varje ortogonal matris A ∈ Rn×n gäller det att det(A) = ±1.
Vi har tidigare sett att vissa matriser kan diagonaliseras. En matris är diagonaliserbar om det finns en
bas som består av egenvektorer. Vi kan också diagonalisera matriser med hjälp av ortogonala matriser.
Definition 1.3 (Symmetrisk matris). En matris A ∈ Rn×n kallas för symmetrisk om AT = A.
Symmetriska matriser har väldigt bra egenskaper. Symmetriska matriser är alltid diagonaliserbara. De
är också vad som kallas som ortogonalt diagonaliserbara.
Sats 1.4 (Spektralsatsen). För varje symmetrisk A ∈ Rn×n finns det en ortogonal matris S och en diagonalmatris D,
så att
S T AS = S −1 AS = D .
Det faktum att A = S T DS kan ekvivalent beskrivas med att det finns en ON-bas som består av
egenvektorer till A. En sats som är nyckel till att bevisa spektralsatsen är följande
Sats 1.5. Om A är en symmetrisk matris, då gäller följande.
(a) Alla egenvärden av A är reella.
(b) Om v ∈ E(λ) och w ∈ E(µ), där λ ̸= µ, så gäller det att v ⊥ w.
U
(
7.1:13. Under vilka villkor på a och b är matrisen A =
1
)
a+b b−a
ortogonal?
a−b b+a
2
JOHAN ASPLUND
Lösning. Vi vill alltså att AT = A−1 . Först har vi
(
T
A =
Inversen är
)
a+b a−b
b−a a+b
.
(
−1
A
)
1
a+b a−b
=
det(A) b − a a + b
.
Så A är ortogonal om det(A) = 1. Alltså måste vi ha
(a + b)2 − (a − b)(b − a) = (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2 ) = 1 ⇔ a2 + b2 =
(
7.2:2. Hitta en matris S som ortogonalt diagonaliserar matrisen A =
)
1
.
2
4 2
, och beräkna S −1 AS =
2 4
S T AS.
Lösning. Metoden att ortogonalt diagonalisera en matris är att man hittar en bas i varje egenrum som
man sedan gör om till en ON-bas med hjälp av Gram-Schdmidt.
Vi hittar först egenvärdena.
2 4 − λ
det(A − λI) = = (4 − λ)2 − 4 = (2 − λ)(6 − λ) = 0 .
2
4 − λ
E(2): Vi har
(
A − 2I =
(
så en bas i E(2) är
1
)
−1
)
(
∼
1 1
0 0
)
,
.
E(6): Vi har
(
A − 6I =
( )
Alltså är en bas i E(6),
2 2
2 2
1
1
)
−2 2
2 −2
(
∼
1 −1
0 0
)
.
.
Gör vi om dessa baser till ON-baser i respektive egenrum så kan vi använda sats 1.5 för att konstatera att
om vi sätter ihop alla ON-baser till alla egenrum, så får vi en bas till R2 . ON-baserna är
( )
1
1
B1 = √
2 −1
( )
1
B2 =
så
1
√
,
2 1
( )
( )
1
1 1
1
,√
,
B= √
2 −1
2 1
är en ON-bas av egenvektorer i R2 . Så vi har
(
1
1 1
S=√
−1
1
2
och
(
S
−1
1 1 −1
AS = S AS =
2 1 1
T
)(
)
4 2
2 4
,
)(
1 1
−1 1
)
(
=
2 0
0 6
)
.
LINJÄR ALGEBRA II
LEKTION 7
3
7.2:11. Visa att om A ∈ Rm×n så har finns det en ON-bas som består av egenvektorer till AT A i Rn .
Lösning. Enligt spektralsatsen så behöver vi endast visa att AT A är symmetrisk. Detta kan vi visa med
hjälp av (AB)T = B T AT , som ger
(AT A)T = AT (AT )T = AT A ,
så AT A är symmetrisk, och alltså ortogonalt diagonaliserbar. Därför finns det en ON-bas i Rn som består
av egenvektorer till AT A.
Extrauppgift från tenta. Den linjära operatorn f på R3 ges geometriskt som speglingen i planet x +
y + z = 0.
(a) Finn f :s standardmatris A.
(b) Avgör om A är ortogonal.
(c) Avgör om A är symmetrisk.
Lösning. Det finns flera sätt att lösa denna uppgift på. Vi försöker beskriva alla metoder.
(a) Denna uppgift skulle man kunna lösa på tre olika sätt. Det mest elementära sättet är att bilda standardmatrisen A genom
|
|
|
A = T (e1 ) T (e2 ) T (e3 ) .
|
|
|
Ett annat sätt är att notera att den linjära operatorn har egenvektorer v1 , v2 och v3 med egenvärden
1, 1 och -1. Vi kan använda detta för att hitta matriser T och D så att
AT = T D ⇔ A = T DT −1 .
Detta kräver dock att vi beräknar T −1 . Det vi istället kan göra är att ta reda på om f (och alltså
om A) är symmetrisk. Om vi antar att A är symmetrisk, så kan vi hitta S och D genom ortogonal
diagonalisering, så att
A = SDS T ,
och så vi slipper hitta en invers.
(b) Denna uppgift är egentligen lättast att lösa om man löser (c) först. För om vi vet att A = AT så ska vi
kolla om AAT = AT A = I, det vill säga om A2 = I. Detta är lätt att inse eftersom f är en spegling.
Speglar man en gång, och sedan en till så kommer man tillbaka till ursprungsläget. Alltså måste A
vara ortogonal.
Vi skulle kunna lösa denna uppgift genom att faktiskt beräkna AT och se om AAT = AT A = I
med det A vi fått i (a).
(c) Att A är symmetrisk är ekvivalent med att det finns en ON-bas i R3 som består av egenvektorer.
Egenvektorerna till speglingen är dels en vektor som är parallell med normalen, men det är också
alla vektorer i planet. Vi ser att egenrummet E(1) är lika med planet själv, och E(−1) är lika med
linjen som spänns upp av normalen. Vi ser därför att egenrummen är ortogonala mot varandra. Med
Gram-Schmidt kan vi göra om en bas i E(1) till en ON-bas och samma sak med E(−1). Vi ser att vi
kan sätta ihop dessa baser för att skapa en ON-bas i R3 som består av egenvektorer. Därför måste A
vara symmetrisk.
Självklart kan vi också lösa denna uppgift genom att beräkna AT och se att A = AT , med det A vi
fått i (a).
E-mail address: [email protected]
