Ortogonala mängder En mängd vektorer {u1, u2, . . . , up} är en ortogonal mängd om varje vektor i mängden är ortogonal mot alla andra, dvs ui • uj = 0 då i 6= j. Sats 4 Om S = {u1, u2, . . . , up} är en ortogonal mängd av vektorer skilda från nollvektorn 0, så är S linjärt oberoende och därmed en bas för Span(S). Ortogonala baser En ortogonal bas för ett underrum W , är en bas för W som också är en ortogonal mängd. Sats 5 Låt {u1, u2, . . . , up} vara en ortogonal bas för W . För varje vektor y ∈ W gäller då y = c 1 u 1 + c 2 u 2 + · · · + c p up där vikterna c1, c2, . . . , cp ges av y • ui ci = . ui • u i Ortogonal projektion Ortogonala projektionen av y på u ges av ŷ = y•u u u•u Komposanten av y som är ortogonal mot u ges av y•u z=y− u u•u Ortonormerade mängder En mängd vektorer {u1, u2, . . . , up} är en ortonormerad mängd om det är en ortogonal mängd av enhetsvektorer. Om mängden är en bas för ett underrum W säger vi att det är en ortonormerad bas för W. Sats 6 En m × n-matris U har ortonormerade kolonner om och endast om U T U = I. Sats 7 Om U är en m × n-matris med ortonormerade kolonner, och x, y ∈ Rn, så är a. kU xk = kxk b. (U x) • (U y) = x • y c. (U x) • (U y) = 0 ⇔ x • y = 0