Exempel: Dynamiska system
"
"
#
#
400000
0,95 0,03
så
och x0 =
600000
0,05 0,97
ger differensekvationen xk+1 = Axk upphov till serien
Om A =
"
x0 =
"
x1 =
"
x2 =
"
x3 =
"
x4 =
"
x5 =
400000
600000
#
398000
602000
#
396160
603840
#
394467
605533
#
392910
607090
#
391477
608523
#
"
x50 =
"
x6 =
"
x7 =
"
x8 =
"
x9 =
"
x10 =
375387
624613
"
x11 =
#
"
x51 =
390159
609841
#
388946
611054
#
387830
612170
#
386804
613196
#
385860
614140
#
384991
615009
#
375356
624644
#
Skalärprodukt, inre produkt
Om vi har två vektorer
u1
u
u = ..2
.
un
och
v1
v
v = ..2
.
vn
så ges skalärprodukten eller inre produkten av
u • v = u T v = u1 v 1 + u2 v 2 + · · · + u n v n
Sats 1
Låt u, v och w vara vektorer i Rn, och c
vara en skalär. Då gäller
a. u • v = v • u
b. (u + v) • w = u • w + v • w
c. (cu) • v = c(u • v) = u • (cv)
d. u • u ≥ 0, och u • u = 0 ⇔ u = 0.
OBS! Satsen ger att
(c1u1 + c2u2 + · · · + cpup) • w
= c1 u1 • w + c 2 u 2 • w + · · · + c p up • w
Längd, norm
Längden (eller normen) av en vektor v i Rn
är den ickenegativa skalär kvk som definieras
av
q
√
2
kvk = v • v = v12 + v22 + · · · + vn
För alla skalärer c gäller att kcvk = |c|kvk.
En enhetsvektor är en vektor vars längd
(norm) är 1. Givet en vektor v får vi en enhetsvektor som pekar i samma riktning som
v genom att normera den, dvs bilda
1
v.
kvk
Avstånd
Avståndet mellan vektorerna u och v skrivs
dist(u, v), och definieras som längden (normen) av u − v, dvs
dist(u, v) = ku − vk.
Ortogonala vektorer
Två vektorer u och v i Rn är ortogonala om
u • v = 0.
Sats 2: Pythagoras sats
Två vektorer u och v är ortogonala
om och endast om
ku + vk2 = kuk2 + kvk2.
Ortogonala komplementet
Om en vektor z är ortogonal mot varje vektor
i ett underrum W , i Rn, så säger vi att z är
ortogonal mot W .
Mängden av alla vektorer z som är ortogonala
mot W kallas ortogonala komplementet till
W , och betecknas W ⊥.
1. En vektor x tillhör W ⊥ om och endast
om x är ortogonal mot varje vektor i
en mängd som spänner upp W .
2. W ⊥ är ett underrum till Rn.
Sats 3
Om A är en m × n-matris, så är
(Row(A))⊥ = Nul(A)
och
(Col(A))⊥ = Nul(AT ).
Ortogonala mängder
En mängd vektorer {u1, u2, . . . , up} är en ortogonal mängd om varje vektor i mängden
är ortogonal mot alla andra, dvs ui • uj = 0
då i 6= j.
Sats 4
Om S = {u1, u2, . . . , up} är en ortogonal
mängd av vektorer skilda från nollvektorn 0, så är S linjärt oberoende och
därmed en bas för Span(S).
Ortogonala baser
En ortogonal bas för ett underrum W , är en
bas för W som också är en ortogonal mängd.
Sats 5
Låt {u1, u2, . . . , up} vara en ortogonal bas
för W . För varje vektor y ∈ W gäller då
y = c 1 u 1 + c 2 u 2 + · · · + c p up
där vikterna c1, c2, . . . , cp ges av
y • ui
ci =
.
ui • u i
Ortogonal projektion
Ortogonala projektionen av y på u ges av
ŷ =
y•u
u
u•u
Komposanten av y som är ortogonal mot u
ges av
y•u
z=y−
u
u•u
Ortonormerade mängder
En mängd vektorer {u1, u2, . . . , up} är en ortonormerad mängd om det är en ortogonal
mängd av enhetsvektorer.
Om mängden är en bas för ett underrum W
säger vi att det är en ortonormerad bas för
W.
Sats 6
En m × n-matris U har ortonormerade kolonner om och endast om U T U = I.
Sats 7
Om U är en m × n-matris med ortonormerade kolonner, och x, y ∈ Rn, så är
a. kU xk = kxk
b. (U x) • (U y) = x • y
c. (U x) • (U y) = 0 ⇔ x • y = 0
