Definition: vektorrum
Ett vektorrum V är en icke-tom mängd av
vektorer vilka man kan addera och multiplicera med en skalär enligt reglerna nedan. För
vektorerna u, v, w ∈ V , och skalärerna c, d ∈ R
ska gälla:
1. u + v ∈ V
2. u + v = v + u
3. (u + v) + w = u + (v + w)
4. Det finns
u+0=u
en
nollvektor
0
så
att
5. För alla u ∈ V existerar en vektor −u så
att u + (−u) = 0
6. c u ∈ V
7. c(u + v) = c u + c v
8. (c + d)u = c u + d u
9. (c d)u = c(d u)
10. 1 u = u
Definition: underrum
Ett underrum H till ett vektorrum V är en
delmängd av V som har egenskaperna:
1. Nollvektorn i V finns också i H.
2. H är sluten under vektoraddition, dvs
u, v ∈ H ⇒ u + v ∈ H.
3. H är sluten under multiplikation med
skalär, dvs u ∈ H, c ∈ R ⇒ c u ∈ H.
Exempel
Ett underrum som spänns upp av två vektorer:
x3
v1
v2
0
x1
x2
Sats 1
Om v 1, v 2, . . . v p är i vektorrummet V
så är Span{v 1, v 2, . . . v p} ett underrum
till V .
Definition: nollrum
Nollrummet till en m × n-matris A, dvs
Nul(A), är mängden av lösningar till den homogena ekvationen A x = 0, dvs
Nul(A) = {x ∈ Rn | A x = 0}
Sats 2
Nollrummet till en m × n-matris A är ett
underrum till Rn.
Definition: kolonnrum
Kolonnrummet till en m × n-matris A,
dvs Col(A), är mängden av alla linjärkombinationer
av ikolonnerna i A. Dvs om
h
A = a1 a2 . . . an så är
Col(A) = Span{a1, a2, . . . , an}
Sats 3
Kolonnrummet till en m × n-matris A är
ett underrum till Rm.
Definition: Linjär avbildning
En avbildning T är linjär om
1. T (u + v) = T (u) + T (v) för alla u, v i
definitionsmängden för T .
2. T (c u) = c (T (u))
skalärer c.
för
alla
u
och
Definitionen leder till följande egenskaper:
T (0 ) = 0
T (c u + d v) = c T (u) + d T (v)
T (c1 v1 + c2 v2 + · · · + cp vp)
= c1 T (v1) + c2 T (v2) + · · · + cp T (vp)
