Tentamen i Linjär Algebra II, 5p
Datum: 2007-08-30
Lärare: Andreas Lind
Hjälpmedel: Penna, linjal, samt miniräknare (inte symbolhanterande)
För att få godkänt på tentan så måste du ha minst 15 poäng, varav minst 6 poäng
från varje del. För väl godkänt så är kravet 23 poäng.
Kom ihåg att motivera dina lösningar med bilder och text och avsluta
uppgiften med ett tydligt svar. Skriv endast på en sida av bladet.
Del 1
1. (a) Definiera begreppet skalärprodukt (inre produkt) för ett vektorrum V .
(1p)
(b) Definiera begreppet linjär avbildning mellan vektorrum.
(1p)
(c) Definiera begreppen injektivitet, surjektivitet och bijektivitet för en
linjär avbildning T mellan vektorrummen U och V .
(1p)
2. Låt V vara ett vektorrum med skalärprodukt h·, ·i. Visa att om u, v ∈ V så
gäller att hu, vi2 ≤ hu, ui · hv, vi.
(3p)
3. Låt V och W vara ändligt-dimensionella vektorrum. Då är V och W isomorfa, d.v.s. det finns en bijektiv linjär avbildning mellan dessa, om och
endast om dim(V ) = dim(W ).
(3p)
4. Låt T : U → V vara en linjär avbildning mellan vektorrummen U och V .
Visa att
(a) T (0) = 0.
(1p)
(b) T (−v) = −T (v).
(1p)
(c) T (u − v) = T (u) − T (v)
(1p)
5. Låt W vara ett underrum till vektorrummet V . Definiera W ⊥ , och visa att
W ⊥ är ett vektorrum samt att (W ⊥ )⊥ = W .
(3p)
1
Del 2
6. Låt B vara matrisen
1 0
0
0
2 −2 0
0
.
B=
0 0
2 −1
0 0 −1 2
Diagonalisera/ortogonalt diagonalisera B om det är möjligt.
(3p)
7. Betrakta rummet P3 med skalärprodukt definierad genom
Z 1
hp(x), q(x)i =
p(x)(x)dx.
−1
Vi vet att en standardbas för P3 är given av {1, x, x2 , x3 }. Använd GramSchmidts ortogonaliseringsmetod för att skapa en ON-bas för P3 .
(3p)
8. Beskriv den kvadratiska ytan som ges av ekvationen 4x2 + 4y 2 + 4z 2 + 4xy +
4xz + 4yz − 3 = 0.
(3p)
9. Betrakta vektorerna u1 = (1, −2, 0, 1), u2 = (−1, 0, 0, −1) och u3 = (1, 1, 0, 0)
i R4 . Låt W = span{u1 , u2 , u3 }. Använd Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod för att skapa en ON-bas för W .
(3p)
10. Hitta en bas för det underrum V till P2 som består av alla vektorer på
formen at2 + bt + c, där c = a − b.
(3p)
Lycka till!
Andreas Lind
2
