26
27
3 Linjära rum och avbildningar
Vektorrum
Skalärproduktrum
Euklidiskt
n
n-rum (R )
Helt generaliserade vektorer.
Ex: 3 × 3 − matriser
Vektorrum med skalärprodukt.
Ex: 2 × 2 − matriser med skalärprodukt definierad enligt:
a11 a12 b11 b12
•
=
a 21 a22 b21 b22
= a11b11 + a12b12 + a 21b21 + a22b22
Vektorer med standardskalärprodukt:
(u1,K, u n ) • (v1,K, vn ) = u1v1 + K + unvn
Ex: R , R 2 , R 3 , etc
Figur 3.1 Hierarkin från generella vektorer till de vanliga
geometriska i R, R 2 , R 3 , etc.
M är ett linjärt rum om det för alla u, v, w ∈ M ,
och för alla a, b ∈ R gäller att:
Addition mellan två vektorer
1. u + v ∈ M
(sluten)
2. u + v = v + u
(kommutativ)
3. ∃ 0 : u + 0 = u
(det existerar nollvektor)
4. u + ( v + w ) = (u + v ) + w (associativ)
5. ∃ − u : u + ( −u) = 0
(det existerar negation)
Multiplikation med skalär
6. a ⋅ u ∈ M
(sluten)
7. 1 ⋅ u = u ⋅ 1 = u
(det existerar etta)
8. a (bu) = ( ab) u
(distributiv)
9. ( a + b) u = au + bu
(distributiv)
10. a (u + v ) = au + av
(distributiv)
Tabell 3.1 Definition av linjärt rum.
(Linjärt) Underrum
Subspace
Om V är ett linjärt rum och dessutom en delmängd av ett lin järt rum U, så är V
ett underrum.
Det är enkelt att kontrollera denna egenskap. Om det gäller att V ⊂ U och att
U är ett linjärt rum, så är det enda man behöver undersöka om V är slutet under
multiplikation med skalär och under addition, dvs om det gäller att:
u, v ∈ V , a ∈ R ⇒ u + v ∈ V och au ∈ V
3.1 Linjärt rum
(vektorrum)
LinearSpace, Vector Space
Linjära rum är egentligen en generalisering av vektorbegreppet, och definieras
som en mängd vektor där man
• definierat addition mellan vektorer
• definierat multiplikation mellan en vektor och en skalär
• där axiomen från Tabell 3.1 skall vara uppfyllda
Skalärprodukt (inre produkt)
Scalar Product, Inner Product
Associerar två vektorer i ett reellt vektorrum med ett reellt tal, och uppfyller
axiomen i tabell 3.2. Längd är en central egenskap och definieras som:
u = u•u
Mer kommentarer, framför allt om standardskalärprodukten, finns i avsnitt 1.
Standardskalärprodukt (Euklidisk skalärprodukt)
Standard Scalar Product, Euclidean Scalar Product
Definieras av att u + v = (u1 + v1 ,..., u n + v n ) .
