I2: Transformer ht05, OH-bild Lay1
Rum med skalärprodukt ( Lay:6.7)
Rum med skalärprodukt
En skalärprodukt på ett vektorrum är en regel som till varje par u och
v av vektorer i rummet ordnar ett reellt tal hu, vi så att för alla vektorer
u, v, w i rummet och skalärer c gäller
1. hu, vi = hv, ui
2. hu + v, wi = hu, wi + hv, wi
3. hcu, vi = chu, vi
4. hu, ui ≥ 0 med likhet om och endast om u = 0.
Ytterligare definitioner
• Två vektorer u och v är ortogonala om hu, vi = 0.
• Normen (längden) av en vektor definieras genom
q
kuk = hu, ui
• Avståndet mellan två vektorer u och v definieras genom ku − vk
Några egenskaper (Lay sid 432-3)
• Om u och v är ortogonala så gäller Pythagoras sats
ku + vk2 = kuk2 + kvk2
• |hu, vi| ≤ kukkvk (Cauchy-Schwarz olikhet)
• ku + vk ≤ kuk + kvk (triangelolikheten)
Ett speciellt rum med skalärprodukt
På rummet C[a, b] av kontinuerliga funktioner på ett intervall [a, b] kan
man definiera en skalärprodukt genom
hf, gi =
Z b
a
f (x)g(x) dx
