SAMMANFATTNING FÖRELÄSNING 5
ALAN SOLA
Låt V vara ett vektorrum över en kropp K. För en given mängd vektorer S = {v1 , . . . , vn }
definierade vi det linjära höljet span(S) = span{v1 , . . . , vn } som mängden av alla linjärkombinationer
x1 v1 + · · · + xn vn xj ∈ K.
En central idé inom linjär algebra är att representera abstrakt givna vektorer som kolonnvektorer bestämda av koordinater i en fix bas. Vi definerade begreppet linjärt oberoende
och sade att S = {v1 , . . . , vn } är en bas for V om span(S) = V och vektorerna i S är linjärt
oberoende. Vi visade sedan att linjärt oberoende betyder att varje element i linjära höljet
kan skrivas på precis ett sätt som en linjärkombination.
Vi undersökte egenskaper hos baser. Vi visade att alla baser för ett och samma vektorrum
V innehåller samma antal element, och detta tal kallas dimensionen hos V . Vi diskutera
faktumet att samma vektor har olika koordinater i olika baser och diskutera hur man byter
koordinater med hjälp av transitionsmatriser. Idén här är att först uttrycka basvektorerna i
basen B 0 = {w1 , . . . , wn } med hjälp av basen B. Vi visade sedan att om v har koordinatvektor
X i basen B och koordinatvektor Y relativt basen B 0 så gäller X = SY , där S är matrisen
P
som bestäms av relationerna wj = ni=1 sij vi . Notera att matrisen S är kvadratisk eftersom
B och B 0 har samma kardinalitet. Omvänt har vi Y = S −1 X: existensen av en invers följer
av att vi arbetar med baser som speciellt innehåller linjärt oberoende vektorer.
Vi betraktade ett antal exempel och noterade till slut att varje uppsättning linjärt oberoende
vektorer kan utvidgas till en bas.
Department of Mathematics, Stockholm University, 106 91 Stockholm, Sweden.
E-mail address: [email protected]
1
