I1: Linjär algebra, OH-bild 4.1
Underrum
Underrum (s 236): En delmängd H av ett linjärt rum V kallas ett underrum till V om
1. V :s nollvektor ligger i H.
2. Om u och v ligger i H så gör också u + v det.
3. Om u ligger i H så ligger cu också i H för varje skalär c.
Sats 1 (s 237) Om v1 , . . . , vp är vektorer i ett vektorrum V , så är Span{v1 , . . . , vp }
ett underrum till V .
Kolonnrum till en matris (s 245): Kolonnrummet till en matris A är
linjära höljet (span) av alla kolonnerna i A. Betecknas: Col A.
Nollrum till en matris (s 242 ): Nollrummet till en matris A är mängden av alla lösningar x till Ax = 0. Betecknas: Nul A.
Sats 2 (s 243)(med bevis!): Om A är en matris med n kolonner är Nul A
ett underrum till Rn .
I1: Linjär algebra, OH-bild 4.2
Baser och koordinater
Baser (s 254): En mängd B = {b1 , . . . , bp } kallas en bas för H om
1. B är linjärt oberoende.
2. H= Span {b1 , . . . , bp }.
Koordinater med avseende på en bas (s 262): Antag att B = {b1 , . . . , bn }
är en bas för V och x ligger i V . Koordinaterna för x med avseende
på B är vikterna c1 , . . . , cn så att
x = c1 b1 + . . . + cn bn .
Sats 4 (s 253) (Jfr sats 7 i kapitel 1):
En mängd S = {v1 , . . . , vp } av minst två vektorer är linjärt beroende
om och endast om en av vektorerna är en linjärkombination av de
övriga. Om S är linjärt beroende och v1 6= 0 så finns i själva verket
en vektor vj med j > 1 som är linjärkombination av v1 , . . . , vj−1 .
Sats 5 (s 255): Låt S = {v1 , . . . , vp } och H = Span{v1 , . . . , vp }. Då
gäller:
(a) Om en av vektorerna i S är en linjärkombination av de övriga så
spänner de övriga vektorerna upp samma mängd som S gör.
(b) Om H inte bara består av nollvektorn så finns en delmängd av
S som bildar en bas för H.
Sats 7 (s 262)(med bevis!): Om B = {b1 , . . . , bp } är en bas för V så
har varje x i V en entydig representation
x = c1 b1 + . . . + cn bn .
I1: Linjär algebra, OH-bild 4.3
Dimension och rang
Dimension (s 273): Om V är linjära höljet av en ändlig mängd kallas
rummet ändligtdimensionellt med dimensionen lika med antalet
element i en bas för V . Om V inte spänns upp av en ändlig mängd
kallas rummet oändligtdimensionellt.
Sats 9 (s 272): Om ett vektorrum har en bas med n vektorer, så är varje
mängd med fler än n vektorer linjärt beroende.
Sats 10 (s 273): Om en bas för V består av n vektorer, så gör varje bas
för V det.
Sats 11 (s 275 ): Om H är ett underrum till ett ändligtdimensionellt
vektorrum V så kan varje linjärt oberoende mängd av vektorer i H
utvidgas till en bas för H. Vidare gäller
dim H ≤ dim V
Sats 12, Bassatsen (s 275): Antag V är ett p-dimensionellt vektorrum,
p ≥ 1. Då gäller
1. Varje linjärt oberoende mängd med p element i V är automatiskt
en bas för V .
2. Varje mängd som spänner upp V och består av p element är
automatiskt en bas för V .
Rang (s 281): Rangen för en matris A är dimensionen på Col A.
Sats 14, Rangsatsen (s 281 )(med bevis!):
rank A + dim Nul A = n
