Linjär algebra – kurs TNA002 Lektionsanteckningar klass ED1 I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit under lektionstid under kursen TNA002 . Alltså kan detta dokument långt ifrån betraktas som ett läromedel – bara ett dokument med stödord vilka hjälper oss att minnas vad som tagits upp under lektionstid... Peter Holgersson
Lektion 8 – Forts. linjär avbildning Låt oss använda de flesta av verktyg, som vi hittills stött på inom kursen, i en och samma uppgift… Egenvektorer vid linjär avbildning – ”högfärdiga” vektorer vilka vägrar att ändra riktning och avbildas parallellt med sig själva… 0
1
0
Bestäm egenvektorer för Lösning
1 0
0 0 . 0 1
Om är en egenvektor så skall avbildningen Av motsvara en multipel alltså vektor v och dess bild Av skall ha samma ritning men tillåtas vara skalade i förhållande till varandra med faktorn (egenvärdet) enligt ”Den avbildade vektorn är parallell med sig själv” Insättning i uttrycket ovan ger: 0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0 0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0 0
0
0 0
0
0
0
0
0 0
Ett nytt sätt att se på det ursprungliga problemet har skapats – nämligen ett avbildningsproblem med bild i form av nollvektorn. – I detta läge utnyttjas kunskapen om att en urbild av intresse – alltså vektorer 0
0 om och endast om den 0
kvadratiska matrisens saknar invers (och dess determinant det
0). utöver förutom nollvektorn – avbildas på just nollvektorn Anledningen till detta är följande: För att en intressant urbild som avbildas på nollvektorn skall existera, samtidigt som vi vet att nollvektorn (som alltid vid linjär avbildning) avbildas på nollvektorn, så måste denna avbildning sakna invers; om man utgår från bilden och vill ”gå baklänges” så får man ”urvalsångest” p.g.a. flera urbilder och därmed måste avbildningen (och dess matris) sakna invers. Detta är ekvivalent med att matrisens determinant det
0: 1
1
0
0
0
0
1
0 1
λ
1
λ
0 ö
λ
Egenvärdet λ
1 (Endast reella värden av intresse) 1 sätts nu in 0
0 0
0
1
0 1
1 0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
λ
0
2
0
0
0
0 0
0 0
0
1 0
har ett endimensionellt egenrum 0 med egenvärdet 1 0 0
0 0 1
1. Alla vektorer i z‐axeln behåller alltså sin riktning under avbildning med A. Detta stämmer bra med tanke på att positiv riktning runt z‐axeln. 0
0 0
0
0 0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0 ger en rotation ett kvarts varv i 1
