Skalärprodukt
Grovt talat kan man säga att ett reellt (ändligtdimensionellt) vektorrum V fungerar på samma
sätt som Rn. I själva verket ger varje val av en
bas e i V en identifikation av V med Rn genom
att vektorn v ∈ V identifieras med motsvarande
koordinatvektor [v]e. Dock finns det flera begrepp i Rn som saknar motsvarighet i allmänna
linjära rum, t ex längden av en vektor, vinkeln
mellan två vektorer och ortogonalitet.
För att definiera dessa behöver vi införa en
mera struktur på vårt linjära rum, nämligen
Definition 1 En skalärprodukt (eller inre produkt) på ett vektorrum är en funktion som till
varje par v, u av vektorer ordnar ett reellt tal
(v, u) så att följande villkor blir uppfyllda:
(i) (v, v) = 0 ⇔ v = 0.
(ii) (v, v) > 0 för alla v 6= 0.
(iii) (v, u) = (u, v)
(iv). (v, αu + βw) = α(v, u) + β(v, w).
Det finns många andra sätt att beteckna skalärprodukt, t ex hv, ui, (v|u), v · u. Den sista varianten reserveras ofta för den “vanliga” skalärprodukten X · Y = x1y1 + . . . xnyn i Rn.
EX . Det finns många andra skalärprodukter
på R. Låt t ex A vara en inverterbar matris
och sätt (X, Y ) = AX · AY .
EX. På rummet Pn kan vi definiera flera skalärR1
produkter, t ex (p, q) = −1 p(x)q(x) dx och (p, q)
R∞
2
= −∞
p(x)q(x)e−x dx.
Rb
EX. På C([a, b]) definierar (f, g) = a f (x)g(x) dx,
Rb
eller mera allmänt (f, g) = a f (x)g(x)r(x) dx
(r(x) > 0 någon fix funktion) skalärprodukter.
I bland är man också intresserad av skalärprodukter som bara uppfyller (iii) och (iv). Sådana
produkter kallas för pseudoskalärprodukter och
används t ex i relativitetsteori.
För oss är det dock viktigare att tala om skalärprodukter även på komplexa vektorrum. Axiomen är desamma som för reella vektorrum med
ett undantag. Den kommutativa lagen (iii) måste
bytas ut mot
(iii’)
(v, u) = (u, v).
EX. (z1, . . . , zn) · (w1, . . . , wn) = z1w1 + . . . znwn
definierar en komplex skalärprodukt på Cn.
Även de övriga exemplen ovan modifieras lätt
Rb
till det komplexa fallet. (f, g) = a f (x)g(x) dx
är t ex en komplex skalärprodukt på rummet av
komplexvärda kontinuerliga funktioner på [a, b].
Givet en skalärprodukt på ett vektorrum V kan
vi definiera längden eller normen av v ∈ V :
kvk = (v, v)1/2.
Sats 1 (Cauchy-Schwarz) |(v, u)| ≤ kvk · kuk.
Sats 2 (Triangelolikheten) kv+uk ≤ kvk+kuk.
EX. Låt a1, a2, . . . , an 6= 0. Då gäller olikheten
n
X 1
2
≥ n2.
ak ·
2
k=1
k=1 ak
n
X
EX. Låt f (x) ≥ 0 vara vara kontinuerlig [0, 1].
Då gäller att
Z 1
0
f (x) dx ≤
Z
1/2
(f (x))2 dx
.
Två vektorer v, u kallas ortogonala om (v, u) =
0. Många problem i linjär algebra blir mycket
enklare om vi kan uttrycka problemet i en bas
som består av parvis ortogonala vektorer.
Definition 2 En bas e1, . . . , en kallas ortonormerad (ON) om (ei, ej ) = δij (1 ≤ i, j ≤ n).
EX. Standardbasen i Rn (Cn) är en ON-bas.
T T T
1
2
2
2
1
2
2
2
1
EX. − 3 , 3 , 3 , 3 , − 3 , 3 , 3 , 3 , − 3
är en
ON-bas i R3.
EX. Basen 1, x, x2, . . . , xn är inte en ON-bas i
R1
Pn med skalärprodukten (p, q) = −1
p(x)q(x) dx
(eller m a p någon annan naturlig skalärprodukt
heller). Däremot visar det sig att de så kallade
n
2
n
Legendre-polynomen pn(x) = cnD (x − 1) ,
q
n n!)−1 är en ON-bas för P .
(2
där cn = 2n+1
n
2
(Legendre-polynom är viktiga i bla kvantfysik.)
Det är viktigt att ha en effektiv metod att hitta
ON-baser. Gram-Schmidt-ortogonalisering är en
algoritm som gör just detta. Den går till så här:
Antag att v1, v2, . . . , vn är en (godtycklig) bas
för vektorrummet V med skalärprodukten (v, u).
Vi definierar en första normerad vektor e1 =
|v1|−1v1 och sätter sedan f2 = v2 − (e1, v2)e1.
Nu är (e1|f2) = 0 och om vi definierar e2 =
|f2|−1f2 så kommer e1, e2 att utgöra ett ONsystem. Vi fortsätter på samma sätt:
e3 = |ff3| ,
...
... 3
f = v −(e , v )e . . .−(e
f
n
n
1 n 1
n−1 , vn )en−1 , en = |fn | .
f3 = v3−(e1, v3)e1−(e2, v3)e2,
n
Vi har nu konstruerat ON-basen e1, . . . , en. Metoden fungerar lika bra med reell som med
komplex skalärprodukt. Gram-Schmidt-ortogonalisering är en metod som är nästan lika fundamental som Gauss-elimination. Nästa gång
ska vi se att den också leder till ett sätt att
faktorisera matriser (QR-faktorisering).
EX. Bestäm en ON-bas för R3 som innehåller
en basvektor parallell med (1, 1, 1)T .
EX. Bestäm en ON-bas för P3 genom att ortogonalisera basen 1, x, x2, x3.
