Linjär algebra – kurs TNA002
Lektionsanteckningar klass ED1
I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit
under lektionstid under kursen TNA002 . Alltså kan detta dokument långt
ifrån betraktas som ett läromedel – bara ett dokument med stödord vilka
hjälper oss att minnas vad som tagits upp under lektionstid...
Peter Holgersson
Lektion 4 – några viktiga underrum vid linjär
avbildning i
En bild uppstår…
Låt matrisen
.
Den linjära avbildningen
även skriven
verkar på vektorer
inom ett rum
inom ett underrum av
och bildvektorerna
uppstår också inom ett rum
eller
, beroende av matrisens egenskaper.
Bilden förändras…
I detta exempel, med just denna matris, kan man (bara) tänja inom två av tre dimensioner och
samtidigt få en förändring av bildvektorn . Detta tvådimensionella underrum till
kallas
radrummet och spänns upp av vektorer vilka återfinns i matrisens rader. Tänjer man vektorer
inom radrummet får man hela tiden nya vektorer inom värderummet (de röda vektorerna)
Eftersom att radrummet är tvådimensionellt, trots att vi har tre rader i matrisen, bör de tre
raderna vara linjärt beroende. Det är de i detta fall enligt rad 1 + rad 2 = rad 3.
Bilden förändras inte…
Om man tänjer en vektor i den kompletterande dimensionen av
(de gröna vektorerna) –
alltså ortogonalt mot radrummet – så förändras inte bildvektorn (grön).
Detta rum (röd linje), vars riktning (även grön linje) inte ger någon förändring av bildvektorn,
kallas nollrummet; det händer ”noll” med bilden när man tänjer en vektor i denna riktning.
Nollrummet kan man i detta exempel få genom vektorprodukten
vilken ger nollrummet
.
Ovanstående berättar att alla vektorer inom
Avbildningen som också kan skrivas enligt
avbildas i ett tvådimensionellt värderum.
har ett värderum som spänns upp av nedanstående linjärkombination av kolonnvektorer:
eller
eller
Två av kolonnvektorerna räcker eftersom att de är linjärt beroende.
På vilken vektor
avbildas en utvald vektor
…
Låt oss fundera över vilken bildvektor man får vid avbildning av vektorn
Resultatet fås genom insättning:
.
Vilka vektorer
avbildas på en utvald vektor …
Låt oss nu fundera över det omvända problemet– alltså vilka vektorer
bildvektorn
som avbildas på
.
Resultatet fås genom följande ekvationssystem:
Vilket motsvarar den enskilda lösningen
tillsammans med nollrummet
som utgör en komplettering till den enskilda lösningen utan att bilden y
förändras. Det finns alltså oändligt många vektorer
vilka avbildas på
.
Snittet av underrum…
Uppgift 11.9 i läroboken
Låt de linjära höljena
Ange underrummet
vara underrum av
enligt:
.
Lösning
Ett linjärt hölje i form av ett hyperplan – i detta fall ett tredimensionellt underrum
spänns upp av tre vektorer:
av
–
En normal till detta hyperplan skapas för att därefter ge oss hyperplanets ekvation på allmän
form. Kraven på normalen är att den är ortogonal mot alla riktningsvektorer enligt:
Denna information kombineras för att ge oss hyperplanets ekvation på allmän form:
Hyperplanets ekvation blir:
Hyperplanets skall tillsammans med två andra hyperplan, vars snitt bilda underrummet , bilda
en gemensam skärning (ett snitt) vilket bestäms enligt:
Vektorn
spänner upp det endimensionella rummet som är snittet av dessa hyperplan och det sökta
linjära höljet blir
