Skalärprodukt, inre produkt
Om vi har två vektorer
u1
u
u = ..2
.
un
och
v1
v
v = ..2
.
vn
så ges skalärprodukten eller inre produkten av
u • v = u T v = u1 v 1 + u2 v 2 + · · · + u n v n
Sats 1
Låt u, v och w vara vektorer i Rn, och c
vara en skalär. Då gäller
a. u • v = v • u
b. (u + v) • w = u • w + v • w
c. (cu) • v = c(u • v) = u • (cv)
d. u • u ≥ 0, och u • u = 0 ⇔ u = 0.
OBS! Satsen ger att
(c1u1 + c2u2 + · · · + cpup) • w
= c1 u1 • w + c 2 u 2 • w + · · · + c p up • w
Längd, norm
Längden (eller normen) av en vektor v i Rn
är den ickenegativa skalär kvk som definieras
av
q
√
2
kvk = v • v = v12 + v22 + · · · + vn
För alla skalärer c gäller att kcvk = |c|kvk.
En enhetsvektor är en vektor vars längd
(norm) är 1. Givet en vektor v får vi en enhetsvektor som pekar i samma riktning som
v genom att normera den, dvs bilda
1
v.
kvk
Avstånd
Avståndet mellan vektorerna u och v skrivs
dist(u, v), och definieras som längden (normen) av u − v, dvs
dist(u, v) = ku − vk.
Ortogonala vektorer
Två vektorer u och v i Rn är ortogonala om
u • v = 0.
Sats 2: Pythagoras sats
Två vektorer u och v är ortogonala
om och endast om
ku + vk2 = kuk2 + kvk2.
Ortogonala komplementet
Om en vektor z är ortogonal mot varje vektor
i ett underrum W , i Rn, så säger vi att z är
ortogonal mot W .
Mängden av alla vektorer z som är ortogonala
mot W kallas ortogonala komplementet till
W , och betecknas W ⊥.
1. En vektor x tillhör W ⊥ om och endast
om x är ortogonal mot varje vektor i
en mängd som spänner upp W .
2. W ⊥ är ett underrum till Rn.
Sats 3
Om A är en m × n-matris, så är
(Row(A))⊥ = Nul(A)
och
(Col(A))⊥ = Nul(AT ).
