M0031M, Linjär algebra och differentialekvationer
Föreläsning 18
Ove Edlund
LTU
2016-09-22
Ove Edlund (LTU)
M0031M, Föreläsning 18
2016-09-22
1 / 10
Skalärprodukt, inre produkt
Om vi har två vektorer
v1
u1
v2
u2
u = . och v = .
..
..
un
vn
så ges skalärprodukten eller inre produkten av
u • v = uT v = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn
Ove Edlund (LTU)
M0031M, Föreläsning 18
2016-09-22
2 / 10
Sats 1
Låt u, v och w vara vektorer i Rn , och c vara en skalär. Då gäller
a. u • v = v • u
b. (u + v) • w = u • w + v • w
c. (cu) • v = c(u • v) = u • (cv)
d. u • u ≥ 0,
och u • u = 0 ⇔ u = 0.
OBS! Satsen ger att
(c1 u1 + c2 u2 + · · · + cp up ) • w = c1 u1 • w + c2 u2 • w + · · · + cp up • w
Ove Edlund (LTU)
M0031M, Föreläsning 18
2016-09-22
3 / 10
Längd, norm
Längden (eller normen) av en vektor v i Rn är den ickenegativa skalär
kvk som definieras av
q
√
kvk = v • v = v12 + v22 + · · · + vn2
För alla skalärer c gäller att kcvk = |c|kvk.
En enhetsvektor är en vektor vars längd (norm) är 1. Givet en vektor v
får vi en enhetsvektor som pekar i samma riktning som v genom att
normera den, dvs bilda
1
v.
kvk
Avstånd
Avståndet mellan vektorerna u och v skrivs dist(u, v), och definieras som
längden (normen) av u − v, dvs
dist(u, v) = ku − vk.
Ove Edlund (LTU)
M0031M, Föreläsning 18
2016-09-22
4 / 10
Ortogonala vektorer
Två vektorer u och v i Rn är ortogonala om
u • v = 0.
Sats 2: Pythagoras sats
Två vektorer u och v är ortogonala om och endast om
ku + vk2 = kuk2 + kvk2 .
Ove Edlund (LTU)
M0031M, Föreläsning 18
2016-09-22
5 / 10
Ortogonala komplementet
Om en vektor z är ortogonal mot varje vektor i ett underrum W , i Rn , så
säger vi att z är ortogonal mot W .
Mängden av alla vektorer z som är ortogonala mot W kallas ortogonala
komplementet till W , och betecknas W ⊥ .
1. En vektor x tillhör W ⊥ om och endast om x är ortogonal mot varje
vektor i en mängd som spänner upp W .
2. W ⊥ är ett underrum till Rn .
Sats 3
Om A är en m × n-matris, så är
(Row(A))⊥ = Nul(A)
och
(Col(A))⊥ = Nul(AT ).
Ove Edlund (LTU)
M0031M, Föreläsning 18
2016-09-22
6 / 10
Ortogonala mängder
En mängd vektorer {u1 , u2 , . . . , up } är en ortogonal mängd om varje
vektor i mängden är ortogonal mot alla andra, dvs ui • uj = 0 då i 6= j.
Sats 4
Om S = {u1 , u2 , . . . , up } är en ortogonal mängd av vektorer skilda från
nollvektorn 0, så är S linjärt oberoende och därmed en bas för Span(S).
Ove Edlund (LTU)
M0031M, Föreläsning 18
2016-09-22
7 / 10
Ortogonala baser
En ortogonal bas för ett underrum W , är en bas för W som också är en
ortogonal mängd.
Sats 5
Låt {u1 , u2 , . . . , up } vara en ortogonal bas för W . För varje vektor y ∈ W
gäller då
y = c1 u1 + c2 u2 + · · · + cp up
där vikterna c1 , c2 , . . . , cp ges av
ci =
Ove Edlund (LTU)
y • ui
.
ui • ui
M0031M, Föreläsning 18
2016-09-22
8 / 10
Ortogonal projektion
Ortogonala projektionen av y på u ges av
ŷ =
y•u
u
u•u
Komposanten av y som är ortogonal mot u ges av
z=y−
Ove Edlund (LTU)
y•u
u
u•u
M0031M, Föreläsning 18
2016-09-22
9 / 10
Ortonormerade mängder
En mängd vektorer {u1 , u2 , . . . , up } är en ortonormerad mängd om det
är en ortogonal mängd av enhetsvektorer.
Om mängden är en bas för ett underrum W säger vi att det är en
ortonormerad bas för W .
Sats 6
En m × n-matris U har ortonormerade kolonner om och endast om
UT U = I.
Sats 7
Om U är en m × n-matris med ortonormerade kolonner, och x, y ∈ Rn ,
så är
a. kUxk = kxk
b. (Ux) • (Uy) = x • y
c. (Ux) • (Uy) = 0 ⇔ x • y = 0
Ove Edlund (LTU)
M0031M, Föreläsning 18
2016-09-22
10 / 10
