M0031M, Linjär algebra och differentialekvationer
Föreläsning 11
Ove Edlund
LTU
2016-09-12
Ove Edlund (LTU)
M0031M, Föreläsning 11
2016-09-12
1/7
Dimension
Sats 9
Om ett vektorrum V har bas B = {b1 , b2 , . . . , bn }, så är varje mängd av
mer än n vektorer i V linjärt beroende.
Sats 10
Om ett vektorrum V har en bas bestående av n vektorer, så består alla
baser som spänner upp V av n vektorer.
Definition: Dimension
Om det finns en ändlig mängd vektorer som spänner upp V , så är V
ändligtdimensionellt, och dim(V ) är dimensionen för V som ges av
antalet element i vektorrummets bas.
Nollvektorrummet {0} har dimension 0.
Om V ej är ändligtdimensionellt så är det oändligtdimensionellt.
Ove Edlund (LTU)
M0031M, Föreläsning 11
2016-09-12
2/7
Sats 11
Låt H vara ett underrum till ett ändligtdimensionellt vektorrum V .
a. Varje linjärt oberoende mängd av vektorer i H kan, om så behövs,
kompletteras/utökas till en bas för H.
b. H är också ändligtdimensionellt och dim(H) ≤ dim(V ).
Sats 12
Låt V vara ett p-dimensionellt vektorrum, där p ≥ 1.
a. Varje mängd av p linjärt oberoende vektorer i V är en bas för V .
b. Varje mängd av p vektorer som spänner upp V är en bas för V .
Ove Edlund (LTU)
M0031M, Föreläsning 11
2016-09-12
3/7
Definition: radrum
Radrummet till en m × n-matris A, dvs Row(A), är mängden av alla
linjärkombinationer av raderna i A. Dvs om
T
a1
T
a2
A= .
..
aT
m
så är
Row(A) = Span{a1 , a2 , . . . , am }
vilket också innebär att Row(A) = Col(AT ).
Sats 13
Om två matriser A och B är radekvivalenta så har de samma radrum.
(A ∼ B ⇒ Row(A) = Row(B))
Om B är på trappstegsform, bildar raderna som ej endast består av nollor,
en bas för Row(A).
Ove Edlund (LTU)
M0031M, Föreläsning 11
2016-09-12
4/7
Definition: rang
Rangen av en matris A, är lika med dimensionen hos kolonnrummet, dvs
rank(A) = dim(Col(A)).
Sats 14
Dimensionerna hos kolonnrummet och radrummet är lika. Båda har
dimension rank(A) vilket också är lika med antalet pivåpositioner i A.
Om A är en m × n-matris gäller också att
rank(A) + dim(Nul(A)) = n.
Ove Edlund (LTU)
M0031M, Föreläsning 11
2016-09-12
5/7
Sats: Inverterbarhet
Låt A vara en n × n-matris. Då är de följande påståendena ekvivalenta,
dvs om ett är sant så är alla sanna.
a. A är inverterbar.
b. A är radekvivalent med In .
c. A har n pivåpositioner.
d. Den homogena ekvationen A x = 0 har endast den triviala lösningen x = 0.
e. Kolonnerna i A är linjärt oberoende.
f. Avbildningen x 7→ A x är ett-till-ett (one-to-one).
g. Ax = b har lösning för varje b.
h. Kolonnerna i A spänner upp Rn .
i. Avbildningen x 7→ A x är på (onto).
j. Det finns en matris C så att CA = In .
k. Det finns en matris D så att AD = In .
l. AT är inverterbar.
Ove Edlund (LTU)
M0031M, Föreläsning 11
2016-09-12
6/7
Sats: Inverterbarhet, forts
Låt A vara en n × n-matris. Då utökar vi listan med de följande
ekvivalenta påståendena:
m.
n.
o.
p.
q.
r.
Kolonnerna i A bildar bas för Rn .
Col(A) = Rn .
dim(Col(A)) = n.
rank(A) = n.
Nul(A) = {0}.
dim(Nul(A)) = 0.
t. det(A) 6= 0.
Ove Edlund (LTU)
M0031M, Föreläsning 11
2016-09-12
7/7
