VEKTOREKVATIONER
Vektorer i Rn är n-tiplar av reella tal,
(u1 ,. . . , un ), eller skrivna som
u1
kolonnmatriser (kolonnvektorer), u = ... .
un
Vektorer i R2 och R3 kan uppfattas som punkter eller som vektorer i
planet respektive rummet. Två vektorer är lika om de lika koordinatvis.
Algebraiska operationer:
• addition, subtraktion:
a1
..
. ±
an
b1
a1 ± b1
.. =
..
;
.
.
bn
an ± bn
• multiplikation med skalär:
u1
λu1
λ ... = ... ;
un
λun
u1
−u1
(−1) ... = ... = −
un
−un
u1
.. .
.
un
Addition, subtraktion av vektorer och multiplikation med skalär sker
koordinatvis.
De algebraiska operationerna uppfyller vanliga räknereglar: om u, v
och w är vektorer i Rn och c, d är skalärer så gäller:
u+v =v+u
c(u + v) = cu + cv
(u + v) + w = u + (v + w) (c + d)u = cu + du
u+0=0+u=u
c(du) = (cd)u
u + (−u) = −u + u = 0
1·u=u
Def. En linjärkombination av vektorerna v1 , . . . , vk med vikterna
c1 , . . . , ck är vektorn y som ges av
y = c1 v1 + . . . + ck vk .
Låt a1 , . . . ak , b vara givna vektorer i Rn . Betrakta en vektorekvation
x1 a1 + . . . + xk ak = b
(1)
med x1 , . . . , xk som obekanta. Så blir (1) ekvivalent med ekvationssystemet vars totalmatris är [a1 . . . ak |b].
Vi har alltså att b är en linjärkombination av a1 , . . . ak omm respektive ekavitionsystemet är konsistent (har minst en lösning).
Geometrisk beskrivning: Låt v ∈ R3 . Span{v} = {λv : λ ∈
R} =alla punkter på linjen som innehåller v
Låt u, v ∈ R3 som inte ligger på samma linje. Span{u, v} = planet
som innehåller u och v.
1
3
4
Ex. Låt a1 = −4 , a2 = 2 , a3 = −6 . Vilka b =
−3
−2
−7
b1
b2 ligger i linjära höljet av a1 , a2 , a3 ?
b3
Låt A vara m × n matris (m rader och n kolonner), A = [a1 . . . an ],
där kolonnerna
är vektorer i Rm .
i A
x1
..
Låt x = . vara en vektor i Rn . Då är produkten Ax linjär
xn
kombinationen av kolonnerna i A med vikterna x1 , . . . , xn :
x1
Ax = [a1 . . . an ] ... = x1 a1 + . . . + xn an .
xn
Matrisekvationen Ax = b har alltså samma lösningar som vektorekvationen x1 a1 + . . . + xn an = b som i sin tur har samma lösningar som
ekvationssystemet vars totalmatris är [a1 . . . an |b].
När en mängd av vektorer i Rm spänner upp Rm ?
Sats 4. Låt A vara m × n matris. Då är följande utsagor är logiskt
ekvivalenta.
1. För varje b i Rm har ekvationen Ax = b minst en lösning;
2. varje b i Rm är linjär kombination av kolonnerna i A;
3. kolonnerna i A spänner upp Rm ;
4. A har pivotposition i varje rad;
5. ekvationssystemet med totalmatrisen [A|b] är konsistent för varje
b i Rm .
Beräkning av Ax:
Sats 5. Om A är en m × n matris, u och v är vektorer i Rn och c
är en skalär, så gäller:
A(u + v) = Au + Av
A(cu) = cAu.
Homogena linjära ekvationssystem.
Ekvationssytem av typen
x1 a1 + . . . + xn an = 0
där a1 , . . . , an är givna kolonnvektorer i Rm , kallas för homogent linjärt
ekavionssystem.
Systemet har alltid en lösning x = 0 = (0, . . . , 0) (den triviala
lösningen).
Det har icke-triviala lösningar om och endast om ekavtionen har
minst en fri variabel, dvs matrisen A = [a1 . . . an ] minst en icke-pivot
kolonn.
Icke-homogena linjära ekvationssystem.
Sats 6. Antag att ekvationen Ax = b är konsistent för ett visst
högerled b och låt p vara en lösning. Då är ekavtionens lösningsmängd
alla vektorer på formen w = p + vh , där vh är en lösning till respektive
homogena ekvationen Ax = 0.
Bevis. p är en lösning ⇔ Ap = b. w är en annan lösning ⇔ Aw =
b. Då är
A(w − p) = Aw − Ap = b − b = 0
dvs w−p är en lösning, vh , till det homogena ekvationssystemet Ax = 0.
Vi har alltså w − p = vh och w = p + vh .
