c 2005 Eric Järpe
Högskolan i Halmstad
Kapitel 6: Rummet Rn
Det mesta av teorin för geometrisk linjär algebra (dvs linjär algebra i 1, 2 och 3
dimensioner) går att generalisera till n dimensioner:
Rn = {(x1 , . . . , xn ) : xi ∈ R, i = 1, . . . , n}
Vektoraddition och muliplikation i med skalär Rn definieras analogt med tidigare (i
R2 och R3 ).
Räknelagarna är de exakt samma som förut angivna (se Sats 2.1).
Bas
Vektorerna a1 , . . . , ap kallas bas i Rn om det för varje vektor y ∈ Rn finns entydigt
bestämda tal (koordinater) x1 , . . . , xp så att y = x1 a1 + . . . + xp ap .
n
Dvs: a1 , . . . , ap bas om ∀ y ∈ R ∃ ! x1 , . . . , xp ∈ R : y =
p
X
xk ak .
k=1
y ∈ Rn kallas
P linjärkombination av a1 , . . . , ap
om y = pk=1 xk ak för några x1 , . . . , xp ∈ R.
Lär linjärt beroende och oberoende.
Exempel
Låt
a = (1, 2, 0, 5), b = (−2, 1, 2, 1), c = (0, 3, −1, −1), d = (4, 2, −3, −2), v = (−8, 6, 5, 2).
a) Är a, b, c, d linjärt oberoende?
b) Är a, b, c, d, v linjärt oberoende?
Lösning
a) Frågan är om det finns skalärer A, B, C så att t.ex. Aa + Bb + Cc = d. Isåfall är
d en linjärkombination av a, b, c och därmed är de 4 vektorerna linjärt beroende.
Låt oss därför lösa ekvationssystemet
2 +B +3C = 2 (10 ) = (2)
A −2B
= 4 (1)
2A +B +3C = 2 (2)
2B −C = −3 (20 ) = (3)
⇒
2B −C = −3 (3)
5B +3C = −6 (30 ) = (2) − 2(1)
5A +B −C = −2 (4)
11B −C = −2 (40 ) = (4) − 5(1)
2 +B +3C = 2 (100 ) = (10 )
2B −C = −3 (200 ) = (20 )
⇒
11C = 3 (300 ) = 2(30 ) − 5(20 )
9C = 29 (400 ) = 2(40 ) − 11(20 )
3
Men C kan inte både vara 11
och 29
dvs ekvationssystemet saknar lösning. Detta
9
är därmed ett bevis för att a, b, c, d är linjärt oberoende.
1
b) Vi använder samma metodik: finns det reella tal A, B, C, D sådana att
Aa + Bb + Cc + Dd = v? Att besvara den frågan utmynnar i systemet
A
−2B
+4D
=
−8
A = 0
2A +B +3C +2D = 6
B = 1
⇒ ... ⇒
2B −C −3D = 5
C = 3
5A +B −C −2D = 2
D = −2
vilket innebär att v = b + 3c − 2d, dvs a, b, c, d, v är linjärt beroende.
(Det innebär t.o.m. att b, c, d, v är linjärt beroende och att man lägger till en vektor,
a, kan aldrig ändra detta faktum.)
2
Se även Exempel 3 & 4, s. 100–103.
Bassatsen
(i)
Varje bas i Rn består av n vektorer.
(ii) n vektorer i Rn är bas ⇔ de är linjärt oberoende ⇔ de spänner (upp) Rn
(iii) Fler än n vektorer i Rn är linjärt beroende.
Färre än n vektorer kan ej spänna upp Rn .
Läs om hur man kan skriva linjära ekvationssystem som vektorekvationer på s. 104–
106.
Skalärprodukt i Rn
Skalärprodukten mellan 2 vektorer u = (u1 , . . . , un ) och v = (v1 , . . . , vn ) i Rn
definieras som
n
X
u·v =
uk v k
k=1
(Se räkneregler, s. 66)
Vektorerna u och v kallas ortogonala (skrivs u⊥v) om u · v = 0.
Beloppet av en vektor u = (u1 , . . . , un ) i Rn definieras
|u| =
n
X
k=1
2
!1/2
u2k
Exempel
Låt s = (1, 2, 3, 4), t = (2, −1, −4, 3), u = (−3, 1, −1, 1), v = (1, 3, −1, −1).
Bilda m.h.a. dessa vektorer en ON-bas för R4 .
Lösning
Kolla först om vektorerna är ortogonala:
s · t = 1 · 2 − 2 · 1 − 3 · 4 + 4 · 3 = 0 (ok)
s · u = −3 + 2 − 3 + 4 = 0 (ok)
s · v = 1 + 6 − 3 − 4 = 0 (ok)
t · u = −6 − 1 + 4 + 3 = 0 (ok)
t · v = 2 − 3 + 4 + 1 = 0 (ok)
u · v = −3 + 3 + 1 − 1 = 0 (ok)
(Om de inte varit det hade man fått ortogonalisera dem vilket är lite krångligare).
Dessutom ska de vara normerade så låt
e1 =
e2 =
s
=
√
t
=
√
u
=
√
v
=
√
|s |
|t |
e3 =
|u|
e4 =
|v |
1
1+4+9+16
s =
√1 (1, 2, 3, 4)
30
1
4+1+16+9
t =
√1 (2, −1, 4, 3)
30
1
9+1+1+1
u =
1
√
(−3, 1, −1, 1)
2 3
1
1+9+1+1
v
1
√
(1, 3, −1, −1)
2 3
=
2
3
