Mikael Forsberg
Matematik
18 Oktober
2000
Linjär algebra
3ML01A
Sammanfattning av kapitel 5
1. Vektorrum: Vi börjar med vektorrumsdefinitionen
Definition 1 Ett vektorrum V = (V, +, ·) är en mängd V tillsammans med en addition som verkar på
V och en multiplikation med skalär. Dessa operationer ska uppfylla ett antal räkneregler som Ni hittar
på sidan ........
Man ska:
• Tänka på R2 eller R3 .
• Kunna använda räknereglerna.
2. Delrum: Definitionen av delvektorrum:
Definition 2 Ett delrum till V är en delelmängd W av V som själv är ett vektorrum tillsammans med
operationerna som gäller i V .
Man ska:
• Kunna Sats ....... i boken som ger oss tre villkor som ska vara uppfyllda för att man ska ha ett
delrum.
• Veta att ett delrum av R2 är antingen origo eller en rät linje genom origo.
• Veta att ett delrum av R3 är antingen origo, en rät linje genom origo eller ett plan som går genom
origo.
3. Linjär oberoende: Ett antal vektorer är linjärt oberoende om inte någon av vektorerna kan skrivas som
en linjärkombination av de övriga. Mer precist:
Definition 3 Ett antal vektorer v1 , . . . , vn sägs vara linjärt beroende om det finns reella tal t1 , . . . , tn ej
alla noll så att
t1 v1 + · · · + tn vn = 0
(1)
Om vektorerna inte är linjärt beroende så kallar man dem för linjärt oberoende.
Vi ska se ekvation (??) som ett homogent ekvationssystem i variablerna t1 , . . . , tn .
Exempel 4 Om v1 = (1, 0, 1), v2 = (1, 1, 0) och v3 = (0, 1, 1) så blir ekvation (??)
1
0
1
1
1
0
0
t1
0
1 t2 = 0
1
t3
0
Vektorerna är alltså linjärt oberoende precis om detta system endast har den triviala lösningen t1 =
t2 = t3 = 0.
Mikael Forsberg
Matematik
18 Oktober
2000
Linjär algebra
3ML01A
4. Baser: Ett antal vektorer v1 , . . . , vn sägs spänna upp ett (del)vektorrum W om varje vektor w ∈ W
kan skrivas som en linjärkkombination av v1 , . . . , vn , dvs det finn tal a1 , . . . , an så att
a1 v1 + . . . an vn = w
Om v1 , . . . , vn dessutom är linjärt oberoende så är B = {v1 , . . . , vn } en bas för W .
(a1 , . . . , an )B kallas koordinatvektorn för w med avseende på basen B.
Och wB =
Antalet vektorer i en bas kallas vektorrummets dimension.
Sats 5 n stycken vektorer b1 , . . . , bn i ett n-dimensionellt rum är en bas om och bara om
det(b1 , . . . , bn )T 6= 0,
där (b1 , . . . , bn ) har b1 , . . . , bn som kolonner.
Observera att det inte går att använda satsen för att visa att två vektorer i R3 är bas för ett tvådimensionellt
delrum (ett plan) av R3 . I detta fall har vi två tredimensionella vektorer. Sätter vi in dessa i en matris
så blir determinanten noll. I detta fall gäller att vektorerna bildar en bas för planet om vektorerna ligger
i planet och rangen för matrisen blir två. Vi sammanfattar detta i följande
Sats 6 Låt v1 , . . . , vm ∈ Rn ligga i ett m-dimensionellt delrum W av Rn , där m < n. Då är dessa
vektorer en bas för W precis då rangen är m för den m × n-matris vi får då vi sätter in v1 , . . . , vm som
radvektorer.
Kolonnrum och radrum.
Låt A vara en m × n matris. Kolonnerna spänner upp ett delrum ColA av Rm och raderna ett delrum
RowA av Rn .
Sats 7 En bas för RowA får man från de nollskilda raderna i den Gausseliminerade matrisen. Kolonnvektorerna av densamma som svarar mot de ledande ettorna utgör en bas för ColA.
Page 2
