Repetition från MAM222 Linjärt (o)beroende En uppsättning vektorer är linjärt beroende om någon av dem kan beskrivas som en linjärkombination av de andra. Detta formuleras enligt: Definition: Linjärt beroende Vetorerna v 1, v 2, . . . , v p är linjärt beroende om det existerar värden x1, x2, . . . , xp som inte alla är noll, så att x1 v 1 + x2 v 2 + · · · + xp v p = 0. Om det ovanstående inte gäller, dvs x1 v 1 + x2 v 2 + · · · + xp v p = 0. endast är uppfyllt om alla x1, x2, . . . , xp är noll, säger vi att vektorerna är linjärt oberoende. Repetition från MAM222 Linjärt (o)beroende, forts Enligt definitionen av matris-vektor-multiplikation kan villkoret omformuleras enligt x 1 x v 1 v 2 . . . v p ..2 = 0 . | {z } xp =A | {z } =x dvs ett homogent ekvationssystem A x = 0. Om endast den triviala lösningen x = 0 existerar är kolonnerna linjärt oberoende, annars är de linjärt beroende. Sats 4 En mängd {v 1, v 2, . . . , v p} av minst två vektorer, där v 1 6= 0, är linjärt beroende om och endast om något v j kan uttryckas som en linjärkombination av de föregående vektorerna v 1, v 2, . . . , v j−1. Definition: Bas Om H är ett underrum till V , så är vektormängden B = {b1, b2, . . . , bp} i V en bas för H om (i) B är en linjärt oberoende mängd, och (ii) underrummet som spänns upp av B är hela H, dvs H = Span{b1, b2, . . . , bp}. Sats 5 Låt S = {v 1, v 2, . . . , v p} där v i ∈ V , och låt H = Span{v 1, v 2, . . . , v p}. a. Om v k kan uttryckas som en linjärkombination av de övriga elementen i S, så kan v k tas bort ur S, utan att Span(S) påverkas. b. Om H = 6 {0}, så finns en delmängd av S som är bas för H. Sats 6 Pivåkolonnerna i matrisen A bildar en bas för Col(A).