Linjär Algebra: Föreläsning 8
Carl Olsson
2015-11-23
Carl Olsson
Linjär Algebra
2015-11-23
1/8
Repetition: Bassatsen
För Rn gäller
(i) Varje bas består av n vektorer.
(ii) n vektorer bildar en bas ⇔ dom är linjärt oberoende ⇔ dom spänner
upp Rn .
(iii) Fler än n vektorer är linj. beroende.
Färre än n vektorer kan inte spänna upp Rn .
Carl Olsson
Linjär Algebra
2015-11-23
2/8
Repetition: Matriser
Om A är n × p och p × m så definieras matrismultiplikationen C = AB
som n × m matrisen med element
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj
”Element (i, j) = skalärprodukten mellan rad i och kolonn j”
Ex.
1 2
3 4
0 2 4
1 3 5
=
1·0+2·1 1·2+2·3 1·4+2·5
3·0+4·1 3·2+4·3 3·4+4·5
=
2 8 14
4 18 32
OBS: AB 6= BA för det mesta!
Carl Olsson
Linjär Algebra
2015-11-23
3/8
Kvadratiska linjära ekvationssystem
Sats 3 (sid 127): Om A är n × n så är följande ekvivalenta:
(a) Kolonnvektorerna i A bildar en bas i Rn .
(b) Systemet AX = 0 har bara den triviala lösningen X = 0.
(c) Systemet AX = Y är lösbart för alla Y .
Jämför med bassatsen.
Carl Olsson
Linjär Algebra
2015-11-23
4/8
Inversen av en matris
För att lösa en ekvation ax = y med ett obekant tal x multiplicerar vi med
a−1 = 1a på båda sidor:
a−1 ax = a−1 y
⇔
1x = a−1 y
⇔
x = a−1 y
Vi ska göra samma sak med matriser (när x är en obekant vektor):
A−1 Ax = A−1 y
Ix = A−1 y ⇔ x = A−1 y
1 0
En matris I med 1:or på diagonalen t.ex.
kallas enhetsmatris.
0 1
Man ser att IA = A och BI = B för kvadratiska matriser.(kolla själv!)
Carl Olsson
⇔
Linjär Algebra
2015-11-23
5/8
Inversen av en matris
Def. Matrisen A (n × n) är inverterbar om det finns en matris A−1 så att
AA−1 = A−1 A = I . Matrisen A−1 kallas inversen till A.
Carl Olsson
Linjär Algebra
2015-11-23
6/8
Utvidgning av Sats 3.
Sats 5 (sid 133): Om A är n × n så är följande ekvivalenta:
(a) Kolonnvektorerna i A bildar en bas i Rn .
(b) Systemet AX = 0 har bara den triviala lösningen X = 0.
(c) Systemet AX = Y är lösbart för alla Y .
(d) A är inverterbar.
Carl Olsson
Linjär Algebra
2015-11-23
7/8
Räkneregler för inversen
Sats 4, Räkneregler för inversen (sid 130): Om A och B är inverterbara
gäller:
(i) (A−1 )−1 = A
(iii) (AB)−1 = B −1 A−1
Carl Olsson
Linjär Algebra
2015-11-23
8/8
