Linjär Algebra: Föreläsn 7
Carl Olsson
2014-11-19
Carl Olsson
Linjär Algebra
2014-11-19
1 / 10
Repetition
Vektorprodukt:
ū × v̄ är den vektor som uppfyller
(i) |ū × v̄ | = |ū||v̄ | sin α,
(ii) ū × v̄ ortogonal mot ū och v̄ ,
(iii) ū, v̄ , ū × v̄ positivt orienterad.
Carl Olsson
Linjär Algebra
2014-11-19
2 / 10
Repetition
Vektorprodukt: ū × v̄
vektor×vektor = vektor
Area av parallellogrammet = |ū × v̄ |
Skalär Trippelprodukt: (ū × v̄ ) • w̄
(vektor×vektor)•vektor = tal
Volumen av parallellepipeden = |(ū × v̄ ) • w̄ |
Carl Olsson
Linjär Algebra
2014-11-19
3 / 10
Räkneregler Vektorprodukt (Sats 4)
ū × v̄ = 0̄ om och endast om ūkv̄ .
v̄ × ū = −ū × v̄ ,
(ū1 + ū2 ) × v̄ = ū1 × v̄ + ū2 × v̄ ,
(λū) × v̄ = λ(ū × v̄ ).
ū × (v̄1 + v̄2 ) = ū × v̄1 + ū × v̄2 ,
ū × (λv̄ )
Carl Olsson
Linjär Algebra
2014-11-19
4 / 10
Vektorprodukt med koordinater
Formel för vektorprodukt:
(x1 , x2 , x3 ) × (y1 , y2 , y3 ) = (x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 )
Minnesregel:
Carl Olsson
Linjär Algebra
2014-11-19
5 / 10
HON-bas och vektorprodukt
Låt ē1 , ē2 , ē3 vara en positivt orienterad ortonormerad
bas. Dvs.
|ē1 | = |ē2 | = |ē3 | = 1
ē1 ⊥ ē2 , ē1 ⊥ ē3 , ē2 ⊥ ē3
e1 , e2 , e3 positivt orienterade.
Vad blir ē1 × ē2 och ē2 × ē1 ? Båda vektorerna har länden 1 och är
vikelräta mot ē1 och ē2 . Alltså någon av ±ē3 .
Carl Olsson
Linjär Algebra
2014-11-19
6 / 10
HON-bas och vektorprodukt
På samma sätt:
Carl Olsson
Linjär Algebra
2014-11-19
7 / 10
Rummet Rn
Def. Vektorerna ē1 , ē2 , ..., ēp i Rn kallas bas för Rn om varje ū ∈ Rn kan
skrivas
ū = x1 ē1 + x2 ē2 + ... + xp ēp
med entydigt bestämda koeficienter x1 , x2 , ..., xp .
Carl Olsson
Linjär Algebra
2014-11-19
8 / 10
Rummet Rn
Vektorerna ū1 , ū2 , ..., ūp i Rn är linjärt
(i) beroende ⇔ λ1 ū1 + λ2 ū2 + ...λp ūp = 0̄ har lösning med något λi 6= 0.
(ii) oberoende ⇔ λ1 ū1 + λ2 ū2 + ...λp ūp = 0̄ bara har lösningen
λ1 = λ2 = ... = λp = 0.
Def. ū1 , ū2 , ..., ūp spänner upp Rn om varje v̄ ∈ Rn kan skrivas
v̄ = x1 ū1 + x2 ū2 + ... + xp ūp
(inte nödvändigtvis entydigt.)
Carl Olsson
Linjär Algebra
2014-11-19
9 / 10
Rummet Rn
Bassatsen: För Rn gäller
(i) Varje bas består av n vektorer.
(ii) n vektorer bildar en bas ⇔ dom är linjärt oberoende ⇔ dom spänner
upp Rn .
(iii) Fler än n vektorer är linj. beroende.
Färre än n vektorer kan inte spänna upp Rn .
Carl Olsson
Linjär Algebra
2014-11-19
10 / 10
