Linjär Algebra: Föreläsn 3

Linjär Algebra: Föreläsn 3
Carl Olsson
2015-11-9
Carl Olsson
Linjär Algebra
2015-11-9
1/5
Repetition: Vektorer
En vektor har en riktning och en längd men ingen startpunkt!
Carl Olsson
Linjär Algebra
2015-11-9
2/5
Repetition: Baser och Koordinater
Givet en vektor ē 6= 0̄ på linjen l kan varje vektor ū på l skrivas
ū = x ē,
där talet x är entydigt bestämt.
Givet två ickeparallella vektorer ē1 , ē2 i planet kan varje vektor ū i
planet skrivas
ū = x1 ē1 + x2 ē2 ,
där talen x1 och x2 är entydigt bestämda.
Givet tre vektorer ē1 , ē2 , ē3 i rummet som inte ligger i samma plan
kan varje vektor ū i rummet skrivas
ū = x1 ē1 + x2 ē2 + x3 ē3 ,
där talen x1 ,x2 och x3 är entydigt bestämda.
Carl Olsson
Linjär Algebra
2015-11-9
3/5
Repetition: Bas och Koordinater
I planet skriver vi istället för ū = x1 ē1 + x2 ē2 skriver vi ū = (x1 , x2 ) i
basen ē1 ē2 .
I rummet skriver vi istället för ū = x1 ē1 + x2 ē2 + x3 ē3 skriver vi
ū = (x1 , x2 , x3 ) i basen ē1 ē2 ē3 .
Om ū = x1 ē1 + x2 ē2 och v̄ = y1 ē1 + y2 ē2 så är
ū + v̄ = (x1 + y1 )ē1 + (x2 + y2 )ē2
och
λū = λx1 ē1 + λx2 ē2 .
Räkneregler för koordinater blir alltså
(x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 )
och
λ(x1 , x2 ) = (λx1 , λx2 ).
Carl Olsson
Linjär Algebra
2015-11-9
4/5
Bassatsen
(i) ū, v̄ är bas för planet ⇔ ū, v̄ är linjärt oberoende.
(ii) ū, v̄ , w̄ är bas för rummet ⇔ ū, v̄ , w̄ är linjärt oberoende.
(iii) Fler än 2 vektorer i planet är linjärt beroende.
Fler än 3 vektorer i rummet är linjärt beroende.
Carl Olsson
Linjär Algebra
2015-11-9
5/5