M0031M, Linjär algebra och differentialekvationer Föreläsning 2

M0031M, Linjär algebra och differentialekvationer
Föreläsning 2
Ove Edlund
LTU
2016-08-30
Ove Edlund (LTU)
M0031M, Föreläsning 2
2016-08-30
1/5
Polära koordinater
Komplexa tal kan beskrivas med polära koordinater, vilket innebär att z
beskrivs av avståndet från origo r och vinkeln mot reella axeln ϕ som
uttrycks med arg z.
Förhållandet mellan rektangulära koordinater och polära koordinater
beskrivs av uttrycken:
p
x = r cos ϕ
r = |z| = x 2 + y 2
y = r sin ϕ
ϕ = arg z
det ger
z = x + i y = r (cos ϕ + i sin ϕ) (= r e i ϕ )
Ove Edlund (LTU)
M0031M, Föreläsning 2
2016-08-30
2/5
Polär form
Att uttrycka komplexa tal med polära koordinater enligt
z = r (cos ϕ + i sin ϕ) (= r e i ϕ )
kallas polär form.
Likhet mellan två komplexa tal z1 och z2 i polär form ges av
r1 = r2
z1 = z2 ⇔
ϕ1 = ϕ2 + k 2 π, k heltal
|z1 | = |z2 |
⇔
arg z1 = arg z2 + k 2 π, k heltal
Ove Edlund (LTU)
M0031M, Föreläsning 2
2016-08-30
3/5
Satser för polär form
Sats 9.8
Låt z1 6= 0 och z2 6= 0 vara komplexa tal. Då gäller
arg(z1 z2 ) = arg z1 + arg z2
arg
z1
= arg z1 − arg z2
z2
Sats 9.9: deMoivres formel
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ
då n är heltal.
Ove Edlund (LTU)
M0031M, Föreläsning 2
2016-08-30
4/5
Andragradsekvationer
Lösningsidé
1. Kvadratkomplettera
2. Ersätt kvadraten med en ny variabel
3. Identifiera realdel och imaginärdel (leder till reell andragradsekvation)
4. Återför lösningen till de ursprungliga variablerna.
Ove Edlund (LTU)
M0031M, Föreläsning 2
2016-08-30
5/5