Sammanfattning 4
Övning 5.13: Visa att om u, v är harmoniska, så är även uv harmonisk.
(uv)xx = uxx v + uvxx + 2ux vx . Därmed ∆(uv) = 2(ux vx + uy vy ) = 0 pga Cauchy-Riemann.
Övning 5.17: Visa att om u, v är harmoniska, så är även U = eu cos v harmonisk.
Uxx = eu cos v(u2x − vx2 + uxx ) − eu sin v(2vx ux + vxx ). Resultaten följer av Cauchy-Riemann
eftersom u2x + u2y − vx2 − u2y = (ux + vy )(ux − vy ) + (uy + vx )(uy − vx ) = 0.
Övning 5.18: Om f (z) är analytisk, visa att (a) ∇u och ∇v är ortogonala och båda
har storleken |f ′ (z)|. (b) Om f ′ (z) 6= 0 så definierar u(x, y) = const, v(x, y) = const två
kurvor som skärs rätvinkligt.
(a) Ställ upp ett uttryck för de inblandade termerna och använd Cauchy-Riemann.
(b) Säg att uy 6= 0. u(x, y) = const implicit definierar en funktion y1 (x) med derivatan
y1′ = −ux /uy . Tangenten till kurvan har riktningen t1 = (uy , −ux ). C-R ger att vx 6= 0. Då
definierar v(x, y) = const implicit en funktion x2 (y) med derivatan x′2 = −vy /vx = ux /uy .
Tangenten till kurvan har (i samma punkt som ovan) riktningen t2 = (ux , uy ). Vi har
t1 · t2 = 0.
Komplexa elementära funktioner
1. Polynom p(z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 . {a0 , · · · , an } komplexa tal med
an 6= 0. grad(p) = n.
Sats (Algebras fundamentalsats): pn kar exakt n st nollställen, räknade med multiplicitet (nollställe, dvs rot, är en lösning till p(z) = 0).
Följdsats: Varje polynom kan faktoriseras med förstagrads
faktorer (z−zk ) i det komplexa
Pk
m1
mk
planet, dvs p(z) = an (z − z1 ) · · · (z − zk ) med j=1 mk = n.
2. Rationella funktioner är kvot av två polynom. Egentliga nollställen i nämnaren
kallas poler. Rationella funktioner kan alltid utvecklas via partialbråksuppdelning till
1
.
f (z) = p(z) + R1 (z) + · · · + Rk (z), där Rk innehåller termer av typen
(z − zk )mk
Sats: Polynom funktioner är analytiska i hela C, rationella funktioner är analytiska utanför polerna.
3. Exponential: ez = ex eiy = ex cos y + iex sin y är en helanalytisk funktion. Egenskaper:
ez1 +z2 = ez1 ez2 , |ez | = eℜz = ex , arg(ez ) = ℑz + 2kπ, (ez )′ = ez . Även de hyperboliska
funktionerna cosh z, sinh z är helanalytiska.
eiz + e−iz
eiz − e−iz
, sin z =
. Helanalytiska funktioner som
2
2i
uppfyller relationerna cos2 z + sin2 z = 1, sin(z + w) = sin z cos w + sin w cos z, osv.
4. Trigonometriska: cos z =
5. Logaritmen
Definition: En komplex logaritm av z 6= 0 är ett tal w sådan att ew = z. Notera: Till
varje z finns det oändligt många w.
Exempel 1: Ange alla lösningar w till ekvationen ew = z, för z 6= 0.
Lösningen måste uppfylla |ew | = eℜw = |z| och arg(ew ) = ℑw + 2kπ = arg(z), dvs att
w = ln |z| + i arg(z), där arg(z) är vilken som helst av de oändligt många argument för
talet z.
Sats: log z = ln |z| + i arg(z).
Obs! Tänk igenom detta en gång till: Det finns oändligt många tal w som kan fungera bra
som logaritmer av ett tal z 6= 0. Utan vidare bearbetning så är logaritmen ingen vanlig
entydig funktion av z 6= 0 ∈ C.
För att kunna använda teorin till fullo, vore det bra om log var en analytisk funktion, dvs
entydigt bestämt, kontinuerlig och deriverbar. Detta går inte på hela C, men det finns
olika alternativ att välja på. Först, kan vi välja ett ”recept” (en regel) för att ange arg(z).
Eftersom arg(z) växer som en helix, kan man t ex välja ett varv i helixen.
Sedan, för att undvika en dubbelvärd funktion även på ”randen” samt undvika diskontinuerliga hopp, måste man bestämma sig för en definitionsmängd som inte är hela complexa
planet. Man skär bort en linje i C, med början i punkten z = 0 (som aldrig kan vara med
i logaritmens definitionsmängd).
Definition (Principal gren): Dlog = {C − {ℜz ≤ 0, ℑz = 0}}, log z = ln |z| + i arg(z),
där −π < arg(z) < π.
Definition (Naturliga gren): Dlog = {C − {ℜz ≥ 0, ℑz = 0}}, log z = ln |z| + i arg(z),
där 0 < arg(z) < 2π.
Man väljer alltså inte bara en lämplig definitionsmängd utan även en regel för att ange
ett entydigt värde för logaritmen till varje z ∈ Dlog . Bägge val ger en analytisk funktion
med derivatan (log z)′ = 1/z. I vissa övningar kan ett tredje alternativ (Texasgren) dyka
upp.
