Polär form av komplexa tal
Komplexa tal kan skrivas på polär form, vilket innebär att z beskrivs av avståndet från
origo r och vinkeln mot reella axeln ϕ.
Förhållandet mellan rektangulär form och
polär form beskrivs av uttrycken:
(
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
(
r = |z| =
ϕ = arg z
q
x2 + y 2
det ger
z = x + i y = r(cos ϕ + i sin ϕ) (= r ei ϕ)
Likhet mellan två komplexa tal z1 och z2 i
polär form ges av
(
r1 = r2
ϕ1 = ϕ2 + k 2 π, k heltal
(
|z1| = |z2|
arg z1 = arg z2 + k 2 π, k heltal
z1 = z2 ⇔
⇔
Sats 9.8
Låt z1 6= 0 och z2 6= 0 vara komplexa tal.
Då gäller
arg(z1z2) = arg z1 + arg z2
z
arg 1 = arg z1 − arg z2
z2
Sats 9.9: deMoivres formel
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ
då n är heltal.
