Tal
Naturliga tal
N = 0,1,2,3,…}
!! {
!!x +3 = 0!!!!!!!!!!x = ?
Hela tal
€
N
Z = …,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}
!! {
€
Z
€
!!4x = 1!!!!!!!!!!!!x = ?
€
Rationella tal
€
$a
'
Q = % :!!a,b ∈ Z,!b ≠ 0(
)
!! & b
Q
€
€
2
!!x = 2!!!!!!!!!!!!x = ?
€
R = alla!rationella!och!irrationella!tal}
Reella tal
!! {
R
€
€
2
=?
!!x = –1!!!!!!!!!!!!x
€
Komplexa tal
Inför imaginära enheten i sådan att i2 = –1
C = a+ib : !a,b ∈ R}
!! {
C
€
€
€
z = a + bi
Im
i2 = –1
Realdelen av z:
Re z = a
Imaginärdelen av z:
Im z = b
Absolutbeloppet av z:
z =
Konjugatet till z:
z = a – bi
a 2 + b2
Räkning med komplexa tal fungerar som
vanligt (men i2 = –1)
5i
Im z = 3
1i
–5
z
-1i
=
5
Div. med komplext tal: förläng med konj.
z = 4 + 3i
Re z = 4
5
Re
i:s potenstabell: i2 = –1
i3 = –i
i4 = +1
z = 4 – 3i
-5i
in = +1 om n delbart med 4
z = a + bi
Im
i2 = –1
Realdelen av z:
Re z = a
Imaginärdelen av z:
Im z = b
Absolutbeloppet av z:
z =
Konjugatet till z:
a 2 + b2
z = a – bi
5i
Im z = 3
1i
–5
-1i
z
=
5
z = 4 + 3i
Re z = 4
5
z = 4 – 3i
-5i
Re
En metod för ekvationslösning:
1) Ansätt z = a + bi
2) Förenkla VL och HL till
A + Bi = C + Di
3) Jämför realdelar och imaginärdelar
(A = C, B = D)
(ger ekvationssytem med x och y som kan lösas).
(Två komplexa tal är lika om
1) realdelarna lika
2) imaginärdelarna lika.)
Im
5i
Im
5i
z = 4 + 3i
1i
-1i
1
1i
Re
5
z = 4 + 3i
1
-1i
0°
13
0°
12
5
110°
100°
15i
60
°
50
°
60°
50°
40°
20°
0°
14
160°
°
150
°
80° 70°
30
5i
a 2 + b2
1i
v = arg z
(vanligtvis:
–15 0° < v < 360°) –10
=
5
z = 5 (cos 36,87° + i sin 36,87°)
v = 36,87°
5
-1i
Re
10
15
350°
–5
r=
z
°
33
210
0°
340
°
-5i
°
200
15i
°
150
160°
190°
v = 36,87°
5
Rez
10
15
1
-5i
–z
z
i
0°
33
23
0°
32
0°
33
32
0°
0°
°
-10i
22
10
°
-10i
210
0°
°
340
°
200
-5i
-1i
r=
5
Re
350°
10
1i
=
350°
5
v = arg
z Reav komplexa tal i polär form:
Division
(vanligtvis:
0° < beloppen,
v < 360°) –10
–15 15
–5
Dividera
subtrahera argumenten!
z
340
°
170°
z u = z u , arg(z u) = arg(z) + arg(u)
z = 5 (cos 36,87° + i sin 36,87°)
där r = z = a2 + b2
v = 36,87°
280°
10°
5
0°
31
50°
40°
°
0
30
°
Eftersom i = cos 90° + i sin 90°
290
innebär multiplikation med i
vridning 90° i positiv riktning...
z = 5 (cos 36,87° + i sin 36,87°)
Im
i z 1i
60°
20°
=
80° 70°
°
°
2 0
Multiplikation av komplexa tal i 5polär
° form: -15i
260
Multiplicera beloppen, addera argumenten! ° 5i
z = r (cos v + i sin v)
10°
r=
z
24
0
20°
I polär form:
23
0°
30
40°
°
5i
-1i
32
0°
°
50°
30
60°
z = a + bi
1i
-10i
0
22
10i
80° 70°
10°
170°
70°
10i
z = r (cos v + i sin v)
där r = z =
80°
°
I polär form:
Im
40
z = a + bi
z – w kan tolkas som
“avståndet mellan (punkterna som representerar) z och w”
Re
190°
100°
Komplexa tal kan representeras av punkter eller vektorer i komplexa talplanet.
31
0°
... och division med i
vridning 90° i negativ riktning.
de Moivres formel
(cos v + i sin v)n = cos nv + i sin nv, n heltal
En metod för att lösa
ekvationer av typen zn = w:
1) Skriv w i HL i polär form.
2) Ansätt z = r (cos v + i sin v)
och använd de Moivres formel i VL.
3) Jämför belopp och argument.
Rötterna till zn = w i komplexa talplanet
utgör hörn i en regelbunden n-hörning
med medelpunkten i origo.
Im
z2
z1
(Två komplexa tal på polär form är lika om
1) beloppen lika
2) argumenten lika sånär som på n 2π, där n heltal.)
de Moivres formel
(cos v + i sin v)n = cos nv + i sin nv, n heltal
En metod för att lösa
ekvationer av typen zn = w:
1) Skriv w i HL i polär form.
2) Ansätt z = r (cos v + i sin v)
och använd de Moivres formel i VL.
3) Jämför belopp och argument.
(Två komplexa tal på polär form är lika om
1) beloppen lika
2) argumenten lika sånär som på n 2π, där n heltal.)
z2 + pz + q = 0 (där q reellt) har lösningen
z=–
p
2
+
–
( )
p
2
2
–q
Om p, q reella så är rötterna konjugerade tal!
Im
2
z3
[1]
z1
2
z2
Re
z4 = –16
Re
z4
Rötterna till zn = w i komplexa talplanet
utgör hörn i en regelbunden n-hörning
med medelpunkten i origo.
Im
z3 = –1
z1
z2
1
z3
Re
859
=?
6
x2 - 5x + 6
=?
x-3
3
4 0
1 0 0
1 4 3
8 5 9
6
2 5
2 4
1 9
1 8
1
6
859 = 6 143 + 1
Kvot Rest
8
6
2
2
5
0
5
4
1
1
9
0
9
0
9
8
1
x - 2
x2 - 5
( x2 - 3
- 2
( - 2
6
859 = 6 100 + 6 40 + 6 3 + 1
= 6 (100 + 40 + 3) + 1
= 6 143 + 1
x2 - 5x + 6
=?
x-3
x - 2
x2 - 5
( x2 - 3
- 2
( - 2
Resten vid divisionen
x + 6
x)
x + 6
x + 6)
0
x + 6
x)
x + 6
x + 6)
0
f (x)
x-a
är f (a).
(Restsatsen)
x - 3
Kan läsas "resten vid division med x - a är noll"
"x = a är nollställe till f (x)"
"x = a är rot till ekv. f (x) = 0"
f (x) polynom.
x2 - 5x + 6 = (x - 3) (x - 2) + 0
Kvot Rest
f (a) = 0
f (x) har faktorn (x - a).
f (x) har faktorn (x - a)
f (a) = 0.
(Faktorsatsen)
f (x)
x-a
är f (a).
(Restsatsen)
x - 3
x2 - 5x + 6 = (x - 3) (x - 2) + 0
Kvot Rest
Resten vid divisionen
Varje polynomekvation av grad n med komplexa koefficienter
har exakt n komplexa rötter.
Kan läsas "resten vid division med x - a är noll"
"x = a är nollställe till f (x)"
"x = a är rot till ekv. f (x) = 0"
f (x) polynom.
f (a) = 0
f (x) har faktorn (x - a).
f (x) har faktorn (x - a)
f (a) = 0.
(Faktorsatsen)
Källor
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Abraham_de_moivre.jpg
Icke-reella rötter till polynomekvationer med reella koefficienter
förekommer i konjugerade par.
