Matematik 4

Matematik 4
Kap. 4 Komplexa tal
Innehåll
4.1 Räkning med komplexa tal
4.2 Det komplexa talplanet
4.3 Komplexa tal i potensform
4.4 Polynomekvationer
4.5 *Växelström
Talängder
N
Z
Q
R
C
Naturliga tal
Hela tal
Rationella tal
Reella tal
Komplexa tal
”Roten ur minus ett”
1  i?
”Roten ur minus ett”
i  ?1
2
Talformatet a + bi
Komplext konjugat
Talformatet a + bi
z1  4  2i
Im
9
8
7
z2  3  5i
6
z2
5
4
z3  i
3
2
1
z1
z3
1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Re
2
3
4
5
6
7
8
9
z4  6i
-1
-2
z1
-3
-4
z2
-5
-6
-7
-8
-9
z4
z1  4  2i
z2  3  5i
Talformatet a + bi
z1  3  3i
Im
9
8
7
Markera z1
z2  2  i
6
5
4
3
2
1
Re
1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
2
3
4
5
6
7
8
9
Markera z2
z3  4i
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
Markera z3
Talformatet a + bi
Im
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Re
1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
2
3
4
5
6
7
8
9
Talformatet a + bi
z  4  5i
Re z  4
Im z  5
Kan man lösa denna andragradsekvation?
z  6 z  25  0
2
Kan man lösa denna andragradsekvation?
z  6 z  25  0
2
z  3  9  25
z  3  16
z  3  16  1
z  3 4i
z1  3  4i
z2  3  4i
Ekvationen saknar reella lösningar,
men har två komplexa lösningar.
Addition av komplexa tal
z  5  3i
u  2  4i
z u 
 5  3i    2  4i  
5  3i  2  4i 
3i
Subtraktion av komplexa tal
z  5  3i
u  2  4i
z u 
 5  3i    2  4i  
5  3i  2  4i 
7  7i
Multiplikation av komplexa tal
z  5  3i
u  2  4i
z u 
 5  3i    2  4i    5  3i  2  4i  
10  20i  6i  12i 
2
10  20i  6i  12   1 
10  20i  6i  12 
2  26i
Division av komplexa tal
z  5  3i
u  2  4i
z

u
5  3i    2  4i 

5  3i


2  4i  2  4i    2  4i 
10  20i  6i  12i 2

2
4  16i
10  20i  6i  12

4  16
22  14i
11 7
   i  1,1  0, 7i
20
10 10
Absolutbeloppet
z  2 2  8
2
2
Var har du sett detta förr?
z
Absolutbeloppet
z1  3  4i
z4  5  2i
z1 
z4 
z2  1  i
z5  i
z2 
z5 
z3  1  i
z6  1  i
z3 
z6  3  3i
Absolutbeloppet
Im
9
Är detta påstående korrekt?
8
7
6
z1  3  4i
z2  3  4i
z1  z2
5
z2
4
3
z2
2
1
Re
1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
2
3
4
-1
-2
z1
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
z1
5
6
7
8
9
Från a + bi till polär form
z  a  bi  r  cos v  i sin v 
z  3  4i
r  z  32  42  5
v  arg z
4
tan v 
3
4
v  tan    0,93
3
1
z  3  4i  5  cos 0,93  i sin 0,93
Från a + bi till polär form
z  a  bi  r  cos v  i sin v 
z  a  bi
r  z  a 2  b2
v  arg z
b
tan v 
a
b
v  tan  
a
1
z  a  bi 



 1  b  
 1  b   
a  b  cos  tan     i sin  tan    
 a 
 a 



2
2
Polär form – Multiplikation & Division
Polär form – Multiplikation & Division
Polär form – Multiplikation & Division
Polynomdivision
Hur kan man testa att man har rätt?
Matematik 4, sid 221, uppgift 4440
Polynomdivision
polynom
2
= x + 3x + 5 rest 4
x- 3
Matematik 4, sid 221, uppgift 4440
Polynomdivision
polynom
= x 2 + 3x + 5 rest 4
x- 3
Matematik 4, sid 221, uppgift 4440
Polynomdivision
Matematik 4, sid 221, uppgift 4440
Polynomdivision
https://people.kth.se/~gunnarj/MATS/M2/polyte.html
de Moivres formel
z = 2(cos 30° + i sin 30°)
3
z = (2(cos 30° + i sin 30°))
3
(
)
z = 2 cos (3 ×30°) + i sin (3 ×30°)
3
3
z = 8 (cos 90° + i sin 90°)
3
de Moivres formel
z = 2 + 2i
Vad är z 4 ?
Vi skriver om talet till polär form
z =
22 + 22 =
arg z = v
z=
4
( )
z 4 = - 64 + 0i
8
Radianer!
2
p
Þ v = t an - 1 (1) =
2
4
æ p
pö
ç
÷
8 ×ççcos + i sin ÷
÷
÷
çè
4
4ø
t an v =
æ æ pö
æ p ö÷ö
ç
÷
ç
çç4 × ÷÷
÷
z =
8 ×ççcos çç4 × ÷
+
i
sin
÷
÷
÷
ç
÷
÷
÷
ç
ç
çè è 4 ø
è 4 øø
z 4 = 64 ×(cos p + i sin p )
4
z 4 = - 64
Kap 4 - sammanfattning
Youtube
https://www.youtube.com/watch?v=0m2JQTVAKF8