1
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Ortogonala och symmetriska matriser
ORTOGONALA MATRISER
ORTOGONALA MATRISER (kortare ON- matriser )
Definition 1. ( av en ortogonal matris)
En kvadratisk matris kallas ortogonal om
d v s om
Sats1 ( T 7.1.1 i kursboken)
Följande påstående är ekvivalenta för en
a) A är en ortogonal matris
b) kolonner i matrisen A är ortonormerade
c) rader i matrisen A är ortonormerade
Sats2 ( T 7.1.3 i kursboken)
Följande påstående är ekvivalenta för en
a) A är en ortogonal matris
b) | | | | för alla i
c)
·
·
för alla och
:
:
i
Uppgift1
Visa att A är en ON matris då
⎡
⎢
a) A= ⎢
⎢
⎣⎢
2
2
2
2
Lösning
a)
− 2⎤
⎥
2 ⎥ b) A=
2 ⎥
2 ⎦⎥
⎡cos θ
⎢ sin θ
⎣
b)
− sin θ ⎤
cos θ ⎥⎦
⎡ − 3 / 5 4 / 5 0⎤
c) A= ⎢ 4 / 5 3 / 5 0⎥
⎥
⎢
0 1⎥⎦
⎢⎣ 0
c)
Uppgift2
Bestäm konstanterna a och b om möjligt så att matrisen A blir en ortogonal matris (kortare
ON matris) då
⎡ 3
a) A= ⎢ 2
⎢
⎣ 2
⎤
a ⎥ b) A= ⎡4 / 5 a ⎤
⎢ a b⎥
⎥
⎣
⎦
b⎦
⎡1 / 3 1 b ⎤
c) A= ⎢⎢1 / 2 a a ⎥⎥
⎢⎣1 / 2 b 1 ⎥⎦
2
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Ortogonala och symmetriska matriser
Lösning
⎡ 3
a) A= ⎢ 2
⎢
⎣ 2
⎤
a⎥
⎥
b⎦
Vi kan lösa matris ekvationen
för kolonner K1 och K2
eller använda ekvivalenta ( ortonormering s-) villkor
Kolonvektorerna måste uppfylla följande villkor: |K1|=1, |K2|=1, K1°K2=0
2
⎛ 3⎞
⎟ + 22 ≠ 1 .
Ingen lösning eftersom |K1|= ⎜⎜
⎟
2
⎝
⎠
Svar a) Ingen lösning:
⎡4 / 5 a ⎤
b) A= ⎢
⎥
⎣ a b⎦
16
3
+ a2 = 1 ⇒ a = ± ,
25
5
2
2
|K2|=1, ⇒ a + b = 1
4
4
K1°K2=0 ⇒ a + ab = 0 ⇒ b = −
5
5
|K1|=1 ⇒|K1|2=1 ⇒
3
4
3
−4
Svar b) Två lösningar: a1 = , b1 = − och a 2 = − , b2 =
5
5
5
5
c)
⎡1 / 3 1 b ⎤
A= ⎢⎢1 / 2 a a ⎥⎥
⎢⎣1 / 2 b 1 ⎥⎦
1 1 1
|K1|2= + + ≠ 1 .
9 4 4
Svar c) Ingen lösning eftersom |K1|= ≠ 1 .
3
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Ortogonala och symmetriska matriser
Definition 2. ( av en symmetrisk matris)
En kvadratisk matris kallas symmetrisk om
Sats3 ( T 7.2.1 i kursboken) ( Sats om ortogonal diagonalisering)
Följande påstående är ekvivalenta för en
:
a) A är en symetrisk matris
b) A har n st ortonormerade egenvektorer
c) A är ortogonalt diagonaliserbar dvs det finns en ortogonal matris P sådan att
eller ekvivalent
där D är en diagonal matris.
Sats4 ( T 7.2.2 i kursboken) ( Sats om ortogonal diagonalisering)
För en symetrisk matris A gäller följande
a) Alla egenvärden till A är reella tal
b) Egenvektorer från olika egenrum är ortogonala
1
1/2
. bestäm en ortogonal matris som diagonaliserar A.
1/2
1
Exempel1. Låt
Lösning:
Vi bestämmer egenvärden, egenvektorer och därefter ortonormerar vektorerna.
1
1/2
0
1
1/4
0
3/2 och
1/2
Motsvarande egenvektorer är
1
1
1
1/2
1
1/4
0
1
1/2
1
1
Vektorerna är ortogonala.
Vi normerar vektorer och bildar P
1
| |
1/√2
1/√2
1
| |
Därmed är
1/√2 1/√2
1/√2
1/√2
en ortogonal matris som diagonaliserar A dvs som uppfyller
1/√2
1/√2
4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Ortogonala och symmetriska matriser
.
Exempel 2 ( Ortogonalt diagonalisering av en symmetrisk matris med en dubbelrot)
2 1 1
Låt
1 2 1 . Bestäm en ortogonal matris P som diagonaliserar A.
1 1 2
Lösning:
Vi bestämmer egenvärden, egenvektorer och därefter ortonormerar vektorerna.
0
6
9
4 0
För att finna en heltalslösning ( om en sådan finns) testar vi faktorer av 4 (konstant term i
slutet av ekvationen) ,
dvs vi testar om det finns en lösning bland 1, -1, 2, –2 , 4,–4 och finner att
1 är en lösning.
Polynomdivision
Från ekvationen
6
5
Därmed har vi en dubbelrot
9
4
,
4 /
1
5
0 får vi två lösningar till
1
4.
1 och
4
4.
1i
0 ger två oberoende (men inte ortogonala)
1
1
vektorer
0 och
1 .
0
1
Vi ortoganaliserar de med hjälp av Gram-Schidts metod och får en ny bas med
ortogonala vektorer för egenrum som hör till
1
i) Substitutionen
1
och
0
1
)
också ortogonal mot
1/2
1 . ( Vi kan istället använda2
1/2
ii) Den egenvektor som tillhör egenvärdet
1
2 som är
1
4 är
1
1
1
och är redan ortogonal mot alla vektorer i det första egenrummet (Egenvektorer från
olika egenrum är ortogonala ).
Alltså har vi en bas med ortogonala vektorer
1
1
1
,
0
2 och 1 .
1
1
1
För att få en ORTONORMERAD bas delar vi varje vektor med dess längd. Därefter
1/√2
1/√6 1/√3
bildar vi
0
2/√6 1/√3 som ortogonalt diagonaliserar A.
1/√2
1/√6
1/√3
