Linjär algebra – kurs TNA002

advertisement
Linjär algebra – kurs TNA002
Lektionsanteckningar klass ED1
I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit
under lektionstid under kursen TNA002 . Alltså kan detta dokument långt
ifrån betraktas som ett läromedel – bara ett dokument med stödord vilka
hjälper oss att minnas vad som tagits upp under lektionstid...
Peter Holgersson
Lektion 3 – Matriser och determinanter
Matris gånger vektor på två sätt…
1
−1
0
0 2
3 0
2 4
1
1∙1+0∙2+2∙5
11
2 = −1 ∙ 1 + 3 ∙ 2 + 0 ∙ 5 = 5
5
0∙1+2∙2+4∙5
24
1
−1
0
0 2
3 0
2 4
1
1
1
10
0
2
0
11
2 = 1 −1 + 2 3 + 5 0 = −1 + 6 + 0 = 5
5
0
2
4
0
4
20
24
eller
Matris gånger matris…
1
−1
0
0 2
3 0
2 4
1 0 2
1
−1 3 0 = …
0 2 4
…
1
4
… …
… … = −4 9
… …
−2 14
10
−2
16
Linjär avbildning…
( )=
=
=
=
ℎ
Notera att värderummet (jfr värdemängden men nu med vektorer) spänns upp av nedanstående
linjärkombination av kolonnerna (kolonnvektorer). Man kan också kalla värderummet för
kolonnrummet:
( )=
=
=
ℎ
+
+
ℎ
Vad händer om kolonnvektorerna inte är linjärt oberoende?
Enhetsmatrisen – matrisernas etta – ger ingen förändring…
1 0
0 1
0 0
0
0
1
1
1
2 = 2
5
5
Matrisernas tvåa – ger skalning av alla vektorer med faktor 2…
2 0
0 2
0 0
0
0
2
1
2
2 = 4
5
10
Spegling i xy-planet…
1 0
0 1
0 0
0
0
−1
1
1
=
2
2
5
−1
Vridning 90° runt z-axeln…
cos
2
⎛
⎜ sin
2
⎝ 0
−sin
cos
2
2
0
0
0
⎞ 1
=
2
1
0⎟
5
0
1⎠
−1 0
0 0
0 1
1
−2
2 = 1
5
5
Projektion i xy-planet – z-koordinaten nollställs…
1 0
0 1
0 0
0
0
0
1
1
=
2
2
5
0
”Skalning – spegling – vridning – projektion” på en gång, ett steg i taget…
1 0
0 1
0 0
0
0
0
0 −1 0
1 0 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
1 0
= 0 1
0 0
0
0
0
0
1
0
−1 0
0 0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
1 0
= 0 1
0 0
0
0
0
0
1
0
−1 0
0 0
0 1
2
4
−10
1 0
= 0 1
0 0
0
0
0
−4
2
−10
=
−4
2
0
2 0 0
0 2 0
0 0 2
2
4
10
1
2
5
”Skalning – spegling – vridning – projektion” på en gång, en matris som gör
allt…
1 0
0 1
0 0
0
0
0
0 −1 0
1 0 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
0 −2 0
= 2 0 0
0 0 0
2 0 0
0 2 0
0 0 −2
0 −2 0
= 2 0 0
0 0 0
1
2
5
2 0 0
0 2 0
0 0 2
1
2
5
1
2
5
−4
= 2
0
Determinant – smart att rad- eller kolonnoperera in i det längsta…
3
2
1
4
0
1
0
1
5
2
1
6
9
0 0
7 = 0 1
1 0
2
9
0 1
= 1(−1)
2
0
1
2
3
0 2 3
0 2 3
3 =1
=1 1 0 3
1
0
3
2
1 2 1
0 2 −2
1
2 3
= 1(−1)(−4 − 6) = 10
2 −2
Bestämning av egenvektorer; man söker vektorer som skalas med faktorn λ vid
linjär avbildning och blir en multipel av sig själva…
=
ℎ
Ex) Egenvektorer vid vridning runt z-axeln sökes:
0 −1 0
1 0 0
0 0 1
=
⟺
0 −1
1 0
0 0
0
0
1
=
⟺
0 −1
1 0
0 0
0
0
1
0
= 0
0 0
0
0
⟺
0 −1
1 0
0 0
0
0
1
0
− 0
0 0
0
0
0
= 0
0
0 −1 0
0 0
−
1 0 0
0
0
0 0 1
0 0
⟺
⟺
−
1
0
−1
0
−
0
0 1−
⟺
−
1
0
−1
0
−
0
0 1−
0
= 0
0
0
= 0
0
Enligt sats gäller nu
−
⟺ (1 − )
1
=0
−1
=0
−
⟺ (1 − ) ((− ) − (−1)1) = 0
⟺ (1 − ) (
⟺
+ 1) = 0
=1
Insättning ger
−1 −1
1 −1
0
0
0
0
0
0
= 0
0
⟺
⟺
− − =0
− =0
0=0
=0
=0
=
Alltså är vektorer i z-axelns riktning egenvektorer vid vridning runt z-axeln. Känns
kanske självklart när man tänker efter ty alla andra vektorer får ju en ny riktning.
Download
Random flashcards
Svenska

105 Cards Anton Piter

Multiplacation table

156 Cards Антон piter

Fysik

46 Cards oauth2_google_97f6fa87-d6cd-4ae9-bcbf-0f9c2bb34c13

Fgf

5 Cards oauth2_google_07bf2a28-bcd3-42a3-9eef-1d63e3edcbe8

Create flashcards