Linjär algebra – kurs TNA002

advertisement
Linjär algebra – kurs TNA002
Lektionsanteckningar klass ED1
I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit
under lektionstid under kursen TNA002 . Alltså kan detta dokument långt
ifrån betraktas som ett läromedel – bara ett dokument med stödord vilka
hjälper oss att minnas vad som tagits upp under lektionstid...
Peter Holgersson
Lektion 3 – Matriser och determinanter
Matris gånger vektor på två sätt…
1
−1
0
0 2
3 0
2 4
1
1∙1+0∙2+2∙5
11
2 = −1 ∙ 1 + 3 ∙ 2 + 0 ∙ 5 = 5
5
0∙1+2∙2+4∙5
24
1
−1
0
0 2
3 0
2 4
1
1
1
10
0
2
0
11
2 = 1 −1 + 2 3 + 5 0 = −1 + 6 + 0 = 5
5
0
2
4
0
4
20
24
eller
Matris gånger matris…
1
−1
0
0 2
3 0
2 4
1 0 2
1
−1 3 0 = …
0 2 4
…
1
4
… …
… … = −4 9
… …
−2 14
10
−2
16
Linjär avbildning…
( )=
=
=
=
ℎ
Notera att värderummet (jfr värdemängden men nu med vektorer) spänns upp av nedanstående
linjärkombination av kolonnerna (kolonnvektorer). Man kan också kalla värderummet för
kolonnrummet:
( )=
=
=
ℎ
+
+
ℎ
Vad händer om kolonnvektorerna inte är linjärt oberoende?
Enhetsmatrisen – matrisernas etta – ger ingen förändring…
1 0
0 1
0 0
0
0
1
1
1
2 = 2
5
5
Matrisernas tvåa – ger skalning av alla vektorer med faktor 2…
2 0
0 2
0 0
0
0
2
1
2
2 = 4
5
10
Spegling i xy-planet…
1 0
0 1
0 0
0
0
−1
1
1
=
2
2
5
−1
Vridning 90° runt z-axeln…
cos
2
⎛
⎜ sin
2
⎝ 0
−sin
cos
2
2
0
0
0
⎞ 1
=
2
1
0⎟
5
0
1⎠
−1 0
0 0
0 1
1
−2
2 = 1
5
5
Projektion i xy-planet – z-koordinaten nollställs…
1 0
0 1
0 0
0
0
0
1
1
=
2
2
5
0
”Skalning – spegling – vridning – projektion” på en gång, ett steg i taget…
1 0
0 1
0 0
0
0
0
0 −1 0
1 0 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
1 0
= 0 1
0 0
0
0
0
0
1
0
−1 0
0 0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
1 0
= 0 1
0 0
0
0
0
0
1
0
−1 0
0 0
0 1
2
4
−10
1 0
= 0 1
0 0
0
0
0
−4
2
−10
=
−4
2
0
2 0 0
0 2 0
0 0 2
2
4
10
1
2
5
”Skalning – spegling – vridning – projektion” på en gång, en matris som gör
allt…
1 0
0 1
0 0
0
0
0
0 −1 0
1 0 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
0 −2 0
= 2 0 0
0 0 0
2 0 0
0 2 0
0 0 −2
0 −2 0
= 2 0 0
0 0 0
1
2
5
2 0 0
0 2 0
0 0 2
1
2
5
1
2
5
−4
= 2
0
Determinant – smart att rad- eller kolonnoperera in i det längsta…
3
2
1
4
0
1
0
1
5
2
1
6
9
0 0
7 = 0 1
1 0
2
9
0 1
= 1(−1)
2
0
1
2
3
0 2 3
0 2 3
3 =1
=1 1 0 3
1
0
3
2
1 2 1
0 2 −2
1
2 3
= 1(−1)(−4 − 6) = 10
2 −2
Bestämning av egenvektorer; man söker vektorer som skalas med faktorn λ vid
linjär avbildning och blir en multipel av sig själva…
=
ℎ
Ex) Egenvektorer vid vridning runt z-axeln sökes:
0 −1 0
1 0 0
0 0 1
=
⟺
0 −1
1 0
0 0
0
0
1
=
⟺
0 −1
1 0
0 0
0
0
1
0
= 0
0 0
0
0
⟺
0 −1
1 0
0 0
0
0
1
0
− 0
0 0
0
0
0
= 0
0
0 −1 0
0 0
−
1 0 0
0
0
0 0 1
0 0
⟺
⟺
−
1
0
−1
0
−
0
0 1−
⟺
−
1
0
−1
0
−
0
0 1−
0
= 0
0
0
= 0
0
Enligt sats gäller nu
−
⟺ (1 − )
1
=0
−1
=0
−
⟺ (1 − ) ((− ) − (−1)1) = 0
⟺ (1 − ) (
⟺
+ 1) = 0
=1
Insättning ger
−1 −1
1 −1
0
0
0
0
0
0
= 0
0
⟺
⟺
− − =0
− =0
0=0
=0
=0
=
Alltså är vektorer i z-axelns riktning egenvektorer vid vridning runt z-axeln. Känns
kanske självklart när man tänker efter ty alla andra vektorer får ju en ny riktning.
Download
Random flashcards
Ölplugg

1 Cards oauth2_google_ed8be09c-94f0-4e6a-8e55-87a3b14a45db

organsik kemi

5 Cards oauth2_google_80bad7b3-612c-4f00-b9d5-910c3f3fc9ce

Multiplacation table

156 Cards Антон piter

Create flashcards