MATEMATIK II LINJÄR ALGEBRA HT 2016 INLÄMNINGSUPPGIFT
advertisement
MATEMATIK II LINJÄR ALGEBRA HT 2016
INLÄMNINGSUPPGIFT 2
ALAN SOLA
Redovisa dina uträkningar och förklara ditt tillvägagångssätt.
Lösningar skall lämnas in i pdf-format på kursens hemsida.
Uppgift 1
Låt W vara det delrum av R4 som spänns upp av vektorerna
2
−1
1
1
−2
−2
0
−3
v1 =
, v2 =
, v3 = och v4 =
2
−1
0
−1
−2
−2
1
−1
.
Bestäm en bas för W . Är W = R4 ? Om detta ej är fallet, komplettera basen du erhållit till
en bas för hela R4 .
Lösningsförslag
Vi ställer upp vektorerna wj som kolonner i en
2 −1
−2 −2
W =
2 −1
−2 −2
matris
1 1
0 −3
.
0 −1
1 −1
och utför Gausseliminering för att få en matris på trappstegsform:
1 0 0 16
0 1 0 4
3
0 0 1 2
0 0 0 0
Vi går tillbaka till matrisen W och plockar ut kolonnvektorerna som är på samma position som
pivotelementen i den eliminerade matrisen, det vill säga kolonnerna W1 , W2 och W3 . Då vi har
tre linjärt oberoende vektorer är alltså W 6= R4 . Vi kan dock lägga till en linjärt oberoende
vektor för att få en bas. Vi verifierar att (1 0 0 0)T är en sådan vektor, till exempel
1
2
SOLA
genom att beräkna determinanten av matrisen som uppstår och notera att determinanten är
nollskild.
Uppgift 2
Låt e1 och e2 vara en bas för R2 . Vi är givna två vektorer v1 och v2 som uppfyller
e1 − v1 = e2
och v2 = 2e1 + 4e2 .
Utgör {v1 , v2 } en bas för R2 ? Om ja, bestäm koordinaterna för e1 och e2 i denna bas.
Lösningsförslag
Vi kan skriva om relationerna ovan som
v1 = e1 − e2
och v2 = 2e1 + 4e2 .
Ur detta kan vi avläsa transitionsmatrisen
S=
1 2
−1 4
!
.
Vi inverterar denna matris på sedvanligt sätt och får
S −1 =
2
3
1
6
− 13
1
6
!
.
Genom att multiplicera koordinatvektorn för e1 i basen {e1 , e2 } får vi koordinaterna för e1 i
basen {v1 , v2 }:
!
!
!
1
2
2
−
1
3
3
3
=
.
1
1
1
0
6
6
6
På samma sätt får vi koordinaterna för e2 i basen {v1 , v2 }:
!
!
!
1
1
2
0
−
3
6
3
=
.
1
− 13 16
1
6
Department of Mathematics, Stockholm University, 106 91 Stockholm, Sweden.
E-mail address: [email protected]
