Linjär algebra
TM-Matematik
Mikael Forsberg
ma014a
Övningstenta-LA-1
Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
på ny sida.
Använd ej baksidor. Skriv namn på varje inlämnat blad.
1. Bestäm volymen av den parallellepiped Π som definieras av vektorerna a1 = (1, −1, 1),
a2 = (1, 1, 0) och a3 = (2, 1, 2). Vad blir dess ytas area?
2. Bestäm parametern a så att följande system är konsistent:
a
1
a
2a 2 3a −3a
3a
2
1 + a − 2a
2a −a
1
För vilka a har systemet oändligt många lösningar? (Observera att man inte behöver lösa
systemet för något värde på a.)
3. Bestäm baser för rad och kolonnrum till matrisen
1 2 1 1 2 1
2 1 2 1 1 2
2 2 1 2 1 2
A=
2 −1 1 1 −2 2
1 −1 1 0 −1 1
1 0 0 1 −1 1
4. Beräkna en ON-bas till nollrummet för matrisen i föregående uppgift.
5. Hitta den räta linje som bäst anpassar sig till datamängden {(1, 1), (3, 2), (4, 3), (6, 4), (7, 5)}.
6. Hitta en matris som ortogonalt diagonaliserar
8
A = −2
2
matrisen
−2 2
5 4
4 5
Svar till tentamen i ma014a, .
√
√
1. Volymen är 3 och arean blir 6 + 6 2 + 2 6
2. Konsistens: a ∈ R\{−1/2, 1/9}, dvs konsistens om a inte är lika med −1/2 eller 1/9. Systemet
har oängligt många lösningar om a = 0.
3. Se lösningen!
4. se lösningen
5. y =
27
114 x
+
75
114
≈ 0.66x + 0.24
6.
P =
√
−2
5√ 5
1
5 5
0
√
2
15 √5
4
15√ 5
1
3 5
−1
3
−2
3
2
3
Lösningar till tentamen i ma014a, .
1. Volymen av Π ges som beloppet av determinanten av matrisen som har de givna vektorerna
som rader:
1 −1 1
| det 1 1 0 | = 3
2 1 2
Arean är ju sidornas sammanlagda area. Varje sida spänns upp av de givna vektorerna och vi har
6 stycken som förekommer parvis. Arean av en sida räknas ut som längden av kryssprodukterna.
Vi får
||a1 × a2 || =
√
A1 = ||a1 × a2 || = ||(−1, 1, 2)|| = 6
√
√
A2 = ||a1 × a3 || = ||(−3, 0, 3)|| = 18 = 3 2
A3 = ||a2 × a3 || = ||(2, −2, −1)|| = 3
Arean blir därför
√
√
A = 2A1 + 2A2 + 2A3 = 6 + 6 2 + 2 6
2. Om matrisen är inverterbar så finns det alltid en lösning. Systemet är alltså konsistent för
de värden på a som gör att matrisen är inverterbar. Dessa värden räknar vi ut genom att
ta determinanten av den 3 × 3 matris A som står till vänster. Determinanten blir det A =
a − 7a2 − 18a3 . Dess nolltällen är a = 0, a = 1/9 och a = −1/2. Systemet är alltså konsistent
för alla värden på a som inte är någon av dessa tre.
Om inversen inte existerar så finns det ändå möjligheter till konsistens. I ett sådant fall måste
vi få nollrad i ovanstående utvidgade matris, när vi Gausseliminerar. På matrisen i uppgiften
gör vi följande operationer
(a) Tag −2 gånger rad 1 och addera till rad 2. Tag −2a gånger rad 1 och addera till rad 3.
Då får vi en ny matris A1
1
a
2a
a
a
−7a
a
A1 0
2
2
2
0 −2a − a −4a + 1 1 + a − 2a
(b) Tag 1 + 2a gånger rad 2 i matrisen A1 och addera till rad 3. Detta gör Gausseliminationen
klar:
1 a
2a
a
0 a
−7a
a
0 0 1 − 7a − 18a2 1 + a − 4a2
Ur denna matris kan vi läsa att vi från rad 2 får att a = 0 ger konsistens och oändligt många
lösningar. Sista raden ger oss inget fall av konsistens eftersom höger led och vänster led blir noll
för olika värden på a; vänster led ger
√ oss de två nollskilda värdena på determinanten medan
höger led har nollställena a = 1/2 ± 3/2. Detta ger att vi har ett inkonsistent system för de
nollskilda nollställena till determinanten. Övriga värden på a ger alltså konsistens.
3. Vi Gauss-Jordan eliminerar matrisen A:
1 0
0 1
0 0
AG =
0 0
0 0
0 0
0 1
0 31
1 − 23
0 0
0 0
0 0
−1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
De nollskilda raderna bildar bas för radrummet.
För att bestämma en bas för kolonnrummet så identifierar vi de kolonner som de ledande
elementen i AG står i. De ledande elementen står i kolonn 1, 2 och 3 . Motsvarande kolonner i
A bildar bas för kolonnrummet. Dvs kolonn 1,2 och 3 i A är bas för kolonnrumet.
(Alternativt så kan vi Gausseliminera transponatet till A och ta de nollskilda raderna i denna
som bas för kolonnrummet. I så fall får man vektorer med många nollor.)
4. En bas för nollrummet spänns upp av radvektorerna
−1 0
0 0 0
1 −1 −1 0 1
−3 −1 2 3 0
i följande matris
1
0
0
Gram-Schmidts metod ger nu radvektorerna i följande matris
√1
0
0
0
0
− √12
2
q
q
q
1
1
2
2
2
√
√
− 7 − 7
0
7
14
14
q
4
3
7
5
8
√
√
− 3√891
− 3√91 − √91
13
91
3 91
5. Vi ska hitta en ekvation kx + m = y som i minsta kvadratmening anpassar sig bäst till
uppgiftens data. Datmängden ger upphov till följande ekvationssystem:
k+m = 1
3k + m = 2
4k + m = 3
6k + m = 4
7k + m = 5
Detta kan skrivas som en matrisekvation Ax = b:
1 1
3 1
4 1 k =
m
6 1
7 1
1
2
3
4
5
Vi måste lösa normalekvationen At Ax = At b till denna:
k
78
111 21
=
m
15
21 5
som har lösningen
Vår linje blir därför: y =
25
38 k
+
9
38
k
m
=
25/38
9/38
,
≈ 0.66x + 0.24
6. Vi börjar med att beräkna egenvärdena, den karakteristiska ekvationen blir:
0 = λ3 − 18λ2 + 81λ = λ(λ2 − 18λ + 81) = λ(λ − 9)2
Dess lösningar är alltså λ = 9, dubbelt egenvärde och λ = 0, enkelt egenvärde.
4
Egenvektorer till vårt dubbla egenvärde blir (−2, 1, 0) och (2, 0, 1). Använder vi GramSchmidts ortogonaliseringsmetod på dessa så får vi följande vektorer:
e1 =
e2 =
1
√ (−2, 1, 0)
5
√
5
(2, 4, 5)
15
(1)
(2)
Normerad egenvektor för egenvärdet λ = 0 blir e3 = 13 (−1, −2, 2). En matris som ortogonalt
diagonaliserar A blir:
√
−2 √
2
−1
5 √ 5 15 √5
3
4
−2
P = 15 5 15
5
3
√
1
2
0
3 5
3
5
