Exempel på diagonalisering av kvadratisk form Mikael Forsberg March 3, 2004 Uppgift: Betrakta den kvadratiska ekvationen x2 + 4xy + y 2 = 1. Denna definierar en kurva i planet. Vilken? Lösning Vi skriver om vänster led på matrisform: xT Ax = 1, (1) där xT = (x, y) och A= 1 2 2 1 Idén är nu att diagonalisera A. Mha av den diagonaliserande matrisen P så kan vi göra ett variabelbyte x = P w och i variablerna wT = (u, v) så kommer ekvationen att bli lättare att identifiera. Vi använder diagonaliseringsalgoritmen för att diagonslisera A: 1. Vi beräknar egenvärdena: c(λ) = det(A − λI) = (1 − λ)2 − 4 = 0 som ger λ = 1 ± 2, dvs λ = 3 eller λ = −1. 2. För varje egenvärde så löser vi (A−λI)x = 0. Vi får de uvidgade matriserna −2 2 0 2 2 0 och och 2 20 2 −2 0 för λ = 3 respektive λ = −1. Lösningarna till det första blir x −1 = t. y 1 Lösningarna till det andra systemet blir x 1 = t. y 1 1 Vi väljer egenvektorer som har längden 1. Och får därför att egenvektorn till λ = 3 blir 1 −1 eλ=3 = √ t, 2 1 och egenvektorn till λ = −1 blir eλ=−1 3. 1 =√ 2 Den diagonaliserande matrisen blir 1 P =√ 2 4. 1 t, 1 1 1 −1 1 Den diagonala matrisen blir 1 P −1 AP = D = √ 2 3 0 0 −1 Notera att P är en så kallad ortogonal matris och har den fina egenskapen att P T = P −1 . Nu utför vi variabelbytet x = P w i ekvation (1) och får då att vår ekvation blir 3u2 − v 2 = 1, och eftersom namnen på variablerna inte spelar någon roll så kan vi skriva detta som 3x2 − y 2 = 1, vilket är en hyperbel. Vi visar i följande figur denna diagonaliserade hyperbel tillsammans med den hyperbel vi startade med. y -10 -5 10 10 5 5 0 y 0 5 10 -6 -4 0 -2 0 x 2 4 6 x -5 -5 -10 -10 Figure 1: Till vänster: Orginalhyperbel. Till Höger: den diagonalizerade hyperbeln. 2