TKK, Matematiska institutionen
Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II
Övning 2, (D=”demo-uppgift”, I=”inlämningsuppgift”, W=”webbuppgift”)
Vecka 46, 14–16.11.2007
Gripenberg
Teori för dessa uppgifter finns i Kr8: 7, 18.6–18.9, Kr 9: 8, 20.6–20.9, Lay: 5, 6.1–6.5
D1. Låt A vara en m × mP
matris medP
egenvärden λ1 , . . . , λm . Stämmer det att man alltid har
m
λ
=
det(A) = λ1 · . . . · λm och m
j=1 A(j, j)?
j=1 j
Ledning: Det räcker att studera fallet m = 2!
D2. Låt
0 −2
A=
.
2 0
Ge en geometrisk tolkning av funktionen X 7→ AX. Visa med hjälp av ett geometriskt resonemang att A inte kan ha reella egenvärden. Beräkna A:s (komplexa) egenvärden och egenvektorer.
Svar: Egenvärden: ±2i; egenvektorer: ∓i 1
D3. Låt A vara en reell m×n-matris. Visa att matriserna AT A och AAT har samma egenvärden
som inte är 0.
Ledning: Om AT AX = λX så multiplicerar man från vänster med matrisen A. Nu är antingen
AX = 0 och då är . . . . . ., eller AX 6= 0 och då är . . . . . ..
D4. Bestäm matrisen P så att P X är den ortogonala projektionen av X på planet parallellt
T
T
med vektorerna 1 2 −2
och 1 1 1 .
Svar:
5
13
6
13
2
13
3
− 26
6
13
17
26
2
13
3
− 26
25
26
D5. Antag att man skall lösa ekvationssystemet AX = B där A är en m × n matris och man
har en QR uppdelning av A, dvs. A = QR där A är en m × p-matris, R är en p × n matris
och det finns inga rader med bara nollor i R. Nu kan man multiplicera båda sidor av ekvationen
AX = B med QT från vänster så att man får RX = QT B.
(a) Kan man alltid lösa X ur detta ekvationssystem?
(b) I det fall att man kan lösa X, när får man en lösning till det ursprungliga ekvationssystemet?
(c) Om man inte får en lösning till det ursprungliga systemet, vad får man då?
Returnera lösningarna till I-uppgifterna senast 20.11.2007 kl. 10 till skåp 3
Kom ihåg att skriva ditt namn och studentnummer!
5 −2
12 −5
egenvärden och egenvektorer.
T
T
Svar: λ1 = 1, λ2 = −1, X1 = 1 2 , X2 = 1 3
I1. Bestäm matrisens A =
I2. Antag att t 6= 0 och att
1
1
A=
0 1+t
−1
Bestäm en matris V så att V AV är en diagonalmatris. Vad händer med vinkeln mellan egenvektorerna och vad händer med matrisen V då t → 0?
T
I3. Den symmetriska matrisen A har egenvärdena 2 och −4. Vektorn 1 −1 är en egenvektor som hör till egenvärdet 2. Bestäm A. ( Om A är symmetrisk så är egenvektorer som hör till olika
egenvärden ortogonala mot varandra. Om V är en matris vars kolumner är A:s egenvektorer så är V −1 AV en
diagonalmatris med egenvärdena på diagonalen. Om V −1 AV = D så är A = . . ..)
−1 −3
−3 −1
√1
1
2
− √12
0
−2 √0
2
2. Lös ekvationssystemet AX = B där
0 0 −2
0
√
√2
B = −√ 2.
3
Ledning: Vilken uppdelning av A är gjord och hur kan den användas?
T
Svar: X = 1 0 −1 .
√1
6
√1
6
√
− √23
Svar: A =
I4. Antag att A =
√1
3
√1
3
√1
3
I5. Bestäm matrisen P så att P X är den ortogonala projektionen av X på planet vinlkelrätt
T
mot vektorn 2 −1 2 .
Svar:
− 94
5
9
2
9
2
9
8
9
2
9
−4
9
2
9
5
9
Webbuppgifterna skall besvaras senast 20.11.2007 kl. 10
W1. Vad kan man säga om följande påståenden? (A är en ortogonal matris ifall AT = A−1 )
(a) Den inversa matrisen till en ortogonal matris är ortogonal.
(b) Produkten av två ortogonala n × n-matriser är ortogonal.
(c) Summan av två ortogonala n × n-matriser är ortogonal.
W2. Antag att X är en kolumnvektor i Rn×1 (med n > 1 så att X T X = 1. Vilka av följande
matriser är ortogonala?
(a) I + 2X T X
(b) I − 2XX T
(c) I − XX T
(d) XX T
W3. Låt A vara en n × n-matris. Har matriserna A och AT samma egenvärden och egenvektorer.
W4. Låt P vara en sådan matris att P 2 = P . Hurudana tal kan då vara egenvärden till P ?
0 1
W5. Låt A =
. Vad händer med matrisen
−2 3
n → ∞ om
(a) α = 1?
(b) α = 3?
Ledning: Räkna ut egenvärdena för matrisen A!
1
An
αn
då
