1. Den linjära avbildningen F : R 5 → R3 har i berörda

MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Avdelningen för tillämpad matematik
Examinator: Lars-Göran Larsson
TENTAMEN I MATEMATIK
MMA129 Linjär algebra
Datum: 17 januari 2014
Skrivtid: 5 timmar
Hjälpmedel: Linjal
Denna tentamen består av åtta om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 5 poäng. Den
maximalt möjliga poängsumman är således 40. För betygen 3, 4 och 5 krävs minst 18, 26 respektive 34 poäng. Lösningar
förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den
ordning som uppgifterna är givna i. Undvik speciellt att skriva på baksidor av lösningsblad.
1.
Den linjära avbildningen F : R5 → R3 har i berörda standardbaser matrisen


2 −1
3
4
2
−3
2 −3 −7 −3 .
4 −1
9
6
4
Bestäm F :s nollrum och F :s värderum, och uttryck dem som linjära höljen genererade av en uppsättning basvektorer i respektive rum.
2.
Låt A = [(3, 1, −2, 4), (7, 3, 3, 7)] och B = [(4, 2, −3, 3), (23, 9, −32, 26)] vara två
underrum till R4 . Bestäm om möjligt en bas i skärningsrummet A ∩ B.
3.
Bestäm längderna av och vinkeln mellan vektorerna e1 och e2 −e3 i det euklidiska
rum E för vilket skalärprodukten är fixerad till
hu|vi = 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 − 2x1 y3 − 2x3 y1 + 5x3 y3 ,
där (x1 , x2 , x3 ) och (y1 , y2 , y3 ) är koordinaterna för u respektive v i basen e1 , e2 , e3 .
4.
Den linjära operatorn F : R3 → R3 har det linjära höljet [(3, 2, 2)] som sitt nollrum, har (1, 0, 1) som en egenvektor med egenvärdet −2, och avbildar (1, 3, 0) på
(3, 1, 0). Bestäm F :s matris i standardbasen och avgör om operatorn är inverterbar eller ej.
5.
Utgå från att (x, y, z) betecknar koordinater i ett ON-system och förklara vad
ekvationen 2xz + y 2 = 2 beskriver för typ av yta. Bestäm speciellt avståndet
mellan ytan och origo, samt avgör om någon rotationssymmetri föreligger (bestäm
i så fall, uttryckt i det givna ON-systemet, ekvationen för rotationsaxeln).
6.
Låt M vara ett underrum till E4 , definierat enligt
M = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ E4 : 2x1 + x2 + x4 = 0, x1 + x2 + x3 = 0}.
Bestäm den ortogonala projektionen av vektorn v = (16, 8, 3, 2) på M .
7.
Den linjära operatorn F : R3 → R3 har i

2
A= 0
β−2
basen e1 , e2 , e3 matrisen

0
0
β β − 2
0
5
där β ∈ R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange
även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F .
8.
Låt S vara det linjära rummet av alla reellvärda och symmetriska 2 × 2-matriser,
och beteckna med e1 , e2 , e3 och f1 , f2 , f3 matrisuppsättningarna
1 0
0 1
0 0
−1 3
2 −2
−2
1
,
,
respektive
,
,
0 0
1 0
0 1
3 2
−2
1
1 −2 .
Visa att e1 , e2 , e3 är en bas i S. Visa sedan att även f1 , f2 , f3 är en bas i S.
Specificera i detta sammanhang basbytesmatrisen T i ett byte från e-basen till
1 2
f -basen. Bestäm slutligen koordinaterna för matrisen 2 3 i basen f1 , f2 , f3 .
MÄ
ÄLARDALENS H
HÖGSKOLA
Aka
ademin för utbildning, kultu
ur och kommu
unikation
TENTAM
MEN I MATEM
MATIK
MMA129
9 Linjär algeb ra
Avd
delningen för tillämpad matematik
BEDÖMNINGSPRINCIIPER med POÄ
ÄNGSPANN
Exa
aminator: Larrs-Göran Larss
son
2
Läsår: 2013/14
Tentame
en 2014-01-17
POÄNGSPANN
N (maxpoäng) för
f olika delmom
ment i uppgifterr
1.
N ( F )  [(3 ,  3 ,1, 0 , 0), (1, 2 , 0 ,1, 0), 1p: Korrektt bestämt en
n radkanoniisk, eller en nästintill raadkanonis
sk,
matris
so
om är radekkvivalent meed avbildninngens
(1, 0 , 0 , 0 ,1)]
matris, dvs i praktiiken förbereett för att ku
unna bestäm
mma
V ( F )  [(2 ,  3 , 4 ), (1, 2 ,  1)]
o V (F )
N (F ) och
 [(1, 0 , 5 ), (0 ,1, 2)]
3p: Korrektt bestämt en
n bas i och sspannet för N (F )
1p: Korrektt bestämt en
n bas i och spannet förr V (F )
2.
(7 ,1,  20 ,14)
En bas i A  B är t.ex.
t
3.
e1  2
e2  e3  6
e ,e
1
4.
2 e 3
 6
 6  1  8


1
2
 2
 12  4  14 


Operatoorn F är intte inverterbar
5.
1p: Korrektt formuleratt en (test-)ekkvation som
m prövar om
m det
finns geemensammaa, icke-triviiala vektorer i de linjäraa
rummen
n A  [u1 , u 2 ] och B  [v1 , v2 ] , dv
vs om det finnns
koordin
nater ( x1 , x 2 ) respektivve ( y1 , y 2 ) så
s att
x1u1  x 2 u 2  y1v1  y 2 v 2
1p: Korrektt löst det up
ppkomna ekkvationssysttemet
3p: Korrektt från det Gausselimineerade ekvatiionssystemeet
identifierat en bas i A  B
1p: Korrektt tolkat hur den givna sskalärprodu
ukten tillämppas
1p: Korrektt beräknat läängden av vvektorn e1
1p: Korrektt beräknat läängden av vvektorn e 2  e 3
2p: Korrektt beräknat vinkeln
v
melllan vektorerrna
1p: Korrektt tolkat nollrummet som
m rymmand
de de kolonnnvektoreer vilka avbiildas på nolllvektorn, dv
vs att sambaandet
T
T
A (3 2 2)  (0 0 0) gälleer för avbilddningsmatrissen A
1p: Korrektt tolkat info
ormationen oom egenvek
ktorn och om
m avbildning
gen av den tredje vektoorn, samt ko
orrekt samm
manställt allt det givna som ett maatrissamban
nd för
avbildn
ningsmatriseen A
2p: Korrektt löst den up
ppkomna m
matrisekvatio
onen
1p: Korrektt avgjort attt avbildninggen inte är in
nverterbar
Ekvatioonen kan gennom diagon
nalisering 1p: Korrektt bestämt eg
genvärden ooch egenvek
ktorer till deen
2
2
2
~
~
~
omform
mas till 2   x  y  z som
symmettriska avbildning som i den givna basen har den
d
2
beskriveer en enmanntlad rotatio
onskvadrattiska formen
n 2x z  y
hyperbooloid med rootationsaxelln längs 1p: Korrektt bestämt en
n ortogonal basbytesmaatris som
linjen (xx, y, z )  t (1, 0 ,  1) , t  R , och
diagonaaliserar den kvadratiskaa formen 2xx z  y 2
med ett avstånd tilll origo lika med 2 1p: Korrektt funnit att ekvationen
e
geometriskt betyder enn
enmanttlad rotation
nshyperbolooid
1p: Korrektt funnit ekv
vationen för rotationsax
xeln
1p: Korrektt bestämt av
vståndet meellan ytan occh origo
1 (2)
6.
(2 ,  1,  1,  3)
7.
Beta Diag.bar Bas av egenvektorer
 2, 5
Ja
(3 ,   2 , 2   ) , (0 , 1, 0) ,
(0 ,   2 , 5   )
8.
2
Ja
5
Nej
(1, 0 , 0) , (0 , 1, 0) , (0 , 0 , 1)
1p: Korrekt funnit en bas i M
2p: Korrekt ortonormaliserat basen
1p: Korrekt bestämt ett uttryck för den ortogonala
projektionen av vektorn v  (16 , 8 , 3 , 2) på M
1p: Korrekt beräknat den ortogonala projektionen av vektorn
v  (16 , 8 , 3 , 2) på underrummet M
1p: Korrekt avgjort vad som gäller i fallet   2, 5
1p: Korrekt avgjort vad som gäller i fallet   2
1p: Korrekt avgjort vad som gäller i fallet   5
1p: Korrekt i fallet   2, 5 funnit en bas av egenvektorer
1p: Korrekt i fallet   2 funnit en bas av egenvektorer
existerar ej
2  2
1


T  3 2
1
 2
1  2 

 1 2
 har i basen f1 , f 2 , f 3
 2 3
Matrisen 
koordinaterna (  1,  5 ,  5 )
1p: Korrekt visat ett vektorerna e1 , e 2 , e 3 utgör en bas i det
linjära rummet S
1p: Korrekt visat att också f1 , f 2 , f 3 utgör en bas i det linjära
rummet S
1p: Korrekt funnit basbytesmatrisen T i ett basbyte från
e1 , e 2 , e 3 till f1 , f 2 , f 3
 1 2

2p: Korrekt bestämt koordinaterna för matrisen 
2 3 

i basen f1 , f 2 , f 3
2 (2)