MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA129 Linjär algebra Datum: 17 januari 2014 Skrivtid: 5 timmar Hjälpmedel: Linjal Denna tentamen består av åtta om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 5 poäng. Den maximalt möjliga poängsumman är således 40. För betygen 3, 4 och 5 krävs minst 18, 26 respektive 34 poäng. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. Undvik speciellt att skriva på baksidor av lösningsblad. 1. Den linjära avbildningen F : R5 → R3 har i berörda standardbaser matrisen 2 −1 3 4 2 −3 2 −3 −7 −3 . 4 −1 9 6 4 Bestäm F :s nollrum och F :s värderum, och uttryck dem som linjära höljen genererade av en uppsättning basvektorer i respektive rum. 2. Låt A = [(3, 1, −2, 4), (7, 3, 3, 7)] och B = [(4, 2, −3, 3), (23, 9, −32, 26)] vara två underrum till R4 . Bestäm om möjligt en bas i skärningsrummet A ∩ B. 3. Bestäm längderna av och vinkeln mellan vektorerna e1 och e2 −e3 i det euklidiska rum E för vilket skalärprodukten är fixerad till hu|vi = 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 − 2x1 y3 − 2x3 y1 + 5x3 y3 , där (x1 , x2 , x3 ) och (y1 , y2 , y3 ) är koordinaterna för u respektive v i basen e1 , e2 , e3 . 4. Den linjära operatorn F : R3 → R3 har det linjära höljet [(3, 2, 2)] som sitt nollrum, har (1, 0, 1) som en egenvektor med egenvärdet −2, och avbildar (1, 3, 0) på (3, 1, 0). Bestäm F :s matris i standardbasen och avgör om operatorn är inverterbar eller ej. 5. Utgå från att (x, y, z) betecknar koordinater i ett ON-system och förklara vad ekvationen 2xz + y 2 = 2 beskriver för typ av yta. Bestäm speciellt avståndet mellan ytan och origo, samt avgör om någon rotationssymmetri föreligger (bestäm i så fall, uttryckt i det givna ON-systemet, ekvationen för rotationsaxeln). 6. Låt M vara ett underrum till E4 , definierat enligt M = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ E4 : 2x1 + x2 + x4 = 0, x1 + x2 + x3 = 0}. Bestäm den ortogonala projektionen av vektorn v = (16, 8, 3, 2) på M . 7. Den linjära operatorn F : R3 → R3 har i 2 A= 0 β−2 basen e1 , e2 , e3 matrisen 0 0 β β − 2 0 5 där β ∈ R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F . 8. Låt S vara det linjära rummet av alla reellvärda och symmetriska 2 × 2-matriser, och beteckna med e1 , e2 , e3 och f1 , f2 , f3 matrisuppsättningarna 1 0 0 1 0 0 −1 3 2 −2 −2 1 , , respektive , , 0 0 1 0 0 1 3 2 −2 1 1 −2 . Visa att e1 , e2 , e3 är en bas i S. Visa sedan att även f1 , f2 , f3 är en bas i S. Specificera i detta sammanhang basbytesmatrisen T i ett byte från e-basen till 1 2 f -basen. Bestäm slutligen koordinaterna för matrisen 2 3 i basen f1 , f2 , f3 . MÄ ÄLARDALENS H HÖGSKOLA Aka ademin för utbildning, kultu ur och kommu unikation TENTAM MEN I MATEM MATIK MMA129 9 Linjär algeb ra Avd delningen för tillämpad matematik BEDÖMNINGSPRINCIIPER med POÄ ÄNGSPANN Exa aminator: Larrs-Göran Larss son 2 Läsår: 2013/14 Tentame en 2014-01-17 POÄNGSPANN N (maxpoäng) för f olika delmom ment i uppgifterr 1. N ( F ) [(3 , 3 ,1, 0 , 0), (1, 2 , 0 ,1, 0), 1p: Korrektt bestämt en n radkanoniisk, eller en nästintill raadkanonis sk, matris so om är radekkvivalent meed avbildninngens (1, 0 , 0 , 0 ,1)] matris, dvs i praktiiken förbereett för att ku unna bestäm mma V ( F ) [(2 , 3 , 4 ), (1, 2 , 1)] o V (F ) N (F ) och [(1, 0 , 5 ), (0 ,1, 2)] 3p: Korrektt bestämt en n bas i och sspannet för N (F ) 1p: Korrektt bestämt en n bas i och spannet förr V (F ) 2. (7 ,1, 20 ,14) En bas i A B är t.ex. t 3. e1 2 e2 e3 6 e ,e 1 4. 2 e 3 6 6 1 8 1 2 2 12 4 14 Operatoorn F är intte inverterbar 5. 1p: Korrektt formuleratt en (test-)ekkvation som m prövar om m det finns geemensammaa, icke-triviiala vektorer i de linjäraa rummen n A [u1 , u 2 ] och B [v1 , v2 ] , dv vs om det finnns koordin nater ( x1 , x 2 ) respektivve ( y1 , y 2 ) så s att x1u1 x 2 u 2 y1v1 y 2 v 2 1p: Korrektt löst det up ppkomna ekkvationssysttemet 3p: Korrektt från det Gausselimineerade ekvatiionssystemeet identifierat en bas i A B 1p: Korrektt tolkat hur den givna sskalärprodu ukten tillämppas 1p: Korrektt beräknat läängden av vvektorn e1 1p: Korrektt beräknat läängden av vvektorn e 2 e 3 2p: Korrektt beräknat vinkeln v melllan vektorerrna 1p: Korrektt tolkat nollrummet som m rymmand de de kolonnnvektoreer vilka avbiildas på nolllvektorn, dv vs att sambaandet T T A (3 2 2) (0 0 0) gälleer för avbilddningsmatrissen A 1p: Korrektt tolkat info ormationen oom egenvek ktorn och om m avbildning gen av den tredje vektoorn, samt ko orrekt samm manställt allt det givna som ett maatrissamban nd för avbildn ningsmatriseen A 2p: Korrektt löst den up ppkomna m matrisekvatio onen 1p: Korrektt avgjort attt avbildninggen inte är in nverterbar Ekvatioonen kan gennom diagon nalisering 1p: Korrektt bestämt eg genvärden ooch egenvek ktorer till deen 2 2 2 ~ ~ ~ omform mas till 2 x y z som symmettriska avbildning som i den givna basen har den d 2 beskriveer en enmanntlad rotatio onskvadrattiska formen n 2x z y hyperbooloid med rootationsaxelln längs 1p: Korrektt bestämt en n ortogonal basbytesmaatris som linjen (xx, y, z ) t (1, 0 , 1) , t R , och diagonaaliserar den kvadratiskaa formen 2xx z y 2 med ett avstånd tilll origo lika med 2 1p: Korrektt funnit att ekvationen e geometriskt betyder enn enmanttlad rotation nshyperbolooid 1p: Korrektt funnit ekv vationen för rotationsax xeln 1p: Korrektt bestämt av vståndet meellan ytan occh origo 1 (2) 6. (2 , 1, 1, 3) 7. Beta Diag.bar Bas av egenvektorer 2, 5 Ja (3 , 2 , 2 ) , (0 , 1, 0) , (0 , 2 , 5 ) 8. 2 Ja 5 Nej (1, 0 , 0) , (0 , 1, 0) , (0 , 0 , 1) 1p: Korrekt funnit en bas i M 2p: Korrekt ortonormaliserat basen 1p: Korrekt bestämt ett uttryck för den ortogonala projektionen av vektorn v (16 , 8 , 3 , 2) på M 1p: Korrekt beräknat den ortogonala projektionen av vektorn v (16 , 8 , 3 , 2) på underrummet M 1p: Korrekt avgjort vad som gäller i fallet 2, 5 1p: Korrekt avgjort vad som gäller i fallet 2 1p: Korrekt avgjort vad som gäller i fallet 5 1p: Korrekt i fallet 2, 5 funnit en bas av egenvektorer 1p: Korrekt i fallet 2 funnit en bas av egenvektorer existerar ej 2 2 1 T 3 2 1 2 1 2 1 2 har i basen f1 , f 2 , f 3 2 3 Matrisen koordinaterna ( 1, 5 , 5 ) 1p: Korrekt visat ett vektorerna e1 , e 2 , e 3 utgör en bas i det linjära rummet S 1p: Korrekt visat att också f1 , f 2 , f 3 utgör en bas i det linjära rummet S 1p: Korrekt funnit basbytesmatrisen T i ett basbyte från e1 , e 2 , e 3 till f1 , f 2 , f 3 1 2 2p: Korrekt bestämt koordinaterna för matrisen 2 3 i basen f1 , f 2 , f 3 2 (2)