Luleå tekniska universitet
matematik
TENTAMEN I MATEMATIK.
M0031M
18:e maj 2011.
Tid: 5 h
Hjälpmedel: Inga.
Lösningarna skall presenteras på ett sådant sätt att räkningar och resonemang
blir lätta att följa. Märk lösningsbladen med namn och personnr.
1. a) Bestäm egenvärden och egenvektorer till matrisen
✓
◆
0
1
A=
.
2 3
b) Avgör om matrisen A’s egenvektorer är ortogonala.
2. a) Lös ekvationen
( 1+
(4p)
(1p)
p
3i)z 5 = 4.
(3p)
b) Bestäm beloppet av
(1
11
2i)(1 i)
.
(3 + i)3
(2p)
3. a) Bestäm lösningen till begynnelsevärdesproblemet
y 0 + xy = x,
b) Bestäm lösningen till
y 00 + 4y = cos(2x),
y(0) = 2.
y(0) = 0, y 0 (0) = 0.
4. a) Definiera begreppet bas i ett vektorrum.
b) Låt vektorrummet H i R4 spännas upp av följande tre vektorer i R4 .
0 1
0 1
0 1
1
1
0
B0C
B0C
B0C
C
B C
B C
v1 = B
@1A , v2 = @0A , v3 = @1A
0
1
1
(3p)
(3p)
(1p)
Bestäm en ON-bas ( ON=ortonormerad ) i vektorrummet H t.ex. med hjälp av GramSchmidt.
(4p)
0 1
0 1
1
2
@
A
@
1 A visa att W = Span{v1 , v2 } är ett underrum till R3 (2p)
5. a) Låt v1 = 3 , v2 =
0
1
b) Bestäm ortogonalkomplementet W ? till W .
(2p)
Var god vänd!
1
6. Lös endast en av följande tre uppgifter A,B eller C.
A. a) En avbildning T : P2 ! P3 definieras genom T (p(t)) = tp(t), p 2 P2 . Avgör om T
är en linjär avbildning.
(2p)
b) Bestäm matrisrepresentationen av T relativt baserna B = {1, t, t2 } för P2 och C =
{1, t, t2 , t3 } för P3 .
(2p)
p
c) Är f : R ! R definierad genom f (x) = x en linjär avbildning? Motivera!
(1p)
B. Låt A vara en (9 ⇥ 10)-matris. Antag att alla lösningar till det homogena ekvationssystemet Ax = 0 kan skrivas som en linjärkombination av två linjärt oberoende vektorer
i R10 . Avgör med hjälp av lämplig sats om ekvationen Ax = b, b 2 R9 alltid går att lösa
med godtyckliga högerled b?
(5p)
C. Bestäm den allmänna lösningen till Eulerekvationen
x2 y 00
xy 0 + y = sin(ln(x)),
med hjälp av substitutionen x = et .
x>0
(5p)
2
