Vt-2011
Umeå Universitet
Matematiska institutionen
PAB
Tentamen i Matematik
Flervariabelanalys
Extra Delprov 1
Hjälpmedel: Miniräknare,
(ej symbolhanterande, s.k. CAS)
Lösningarna skall redovisas så att räkningar och resonemang är lätta att följa.
Svar skall ges på en sådan form att inga uppenbara förenklingar lätt kan göras.
1. Bestäm eventuella lokala maxima, lokala minima och sadelpunkter till funktionen
1
f (x, y) = x2 + y 2 − y 4 ,
2
(x, y) ∈ R2
r2
2. Bestäm konstanten k så att funktionen v(r, t) = tk e 4t
∂v
1 ∂
2 ∂v
r
= 2
∂t
r ∂r
∂r
−
3. En yta i R3 ges av de punkter som satisfierar ekvationen
(2 p)
satisfierar följande ekvation
(2 p)
sin xy + sin yz + sin zx = 0.
a) Visa att punkten P = (1, π, 0) ligger på ytan, d.v.s. satisfierar ekvationen.
(0,5 p)
b) Bestäm ekvationen för tangentplanet till ytan i punkten P .
(1,5 p)
4. Funktionen h(x, y) = x2 y (1 − x − y) är given på kvadraten 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
Bestäm funktionens största och minsta värde på kvadraten. Glöm inte att undersöka
randen till kvadraten.
(2 p)
π
5. A och B är två vektorer i rummet som båda har längd=1 och bildar vinkeln med varandra.
3
En partikel rör sig längs en bana så att dess läge vid tiden t ≥ 0 ges av ortsvektorn
√
4 6 3/2
2
t A × B.
r(t) = tA + t B +
9
Observera att A och B är konstanta vektorer, d.v.s. de beror inte av t.
a) Bestäm partikelns hastighet, v(t), vid tiden t.
b) Bestäm partikelns fart, v(t) vid tiden t.
(0,5 p)
(1 p)
c) Bestäm hur långt partikeln har rört sig på tiden t från att den startade vid tiden
t = 0 i origo.
(0,5 p)
OBS! svaren i b) och c) skall vara förenklade så långt det går med hjäp av det
vi vet om A och B. Svaret i a) får innehålla A, B och A × B
