Umeå universitet
Institutionen för matematik
och matematisk statistik
JG
Tentamen i matematik
Algebra
Tid: 6 timmar
Hjälpmedel: Miniräknare
Resonemang och uträkningar skall vara tydliga och lätta att följa.
Svar skall finnas och vara tydligt utskrivna.
1. Skriv talet (105769)tio hexadecimalt (bas sexton).
(1p)
2. Bestäm SGD(1004467, 746519) med hjälp av Euklides algoritm.
(1p)
3. Hur många injektioner (1-1-funktioner) f : A → B finns det om |A| = 7, |B| = 8
(1p)
4. Lös ekvationen AX = b då A =
2 3 −1
och b =
1 0
5. Hur många heltal n, 1 ≤ n ≤ 10000, är inte jämnt delbara med 3 eller 7.
(1p)
(2p)
1 2 3
6. Låt A = 2 5 3 . Bestäm A−1 ( Kan lösas då man läst s.386-87 )
1 0 8
(2p)
7. Bestäm a så att ekvationen 2x3 − 25x2 + 53x − a = 0 får roten x = 1.
Lös sedan ekvationen fullständigt.
(Det är viktigt att resonemanget är förståeligt!!)
(2p)
8. I ett spel har man bokstavsbrickorna A,B,R,A,K,A,D,I,V,E,S
Hur många olika 9-ord kan bildas med hjälp av dessa brickor?
9. En rekursiv talföljd definieras av
(3p)
a1 = 3
an = 1 + 2an−1 , n > 1
Visa med induktion att an = 2n+1 − 1,
∀n ∈ N.
(3p)
10. Definiera primtal och sammansatt tal.
11. Definiera k-permutation av n element och k-kombination av n element .
(1p)
(1p)
12. Definiera matris och skriv ned ett linjärt ekvationssystem med hjälp av matriser.
(1p)
13. Bevisa ( utgående från definitionen av delare ):
a, b, c ∈ Z, c|a, c|b =⇒ c|(ax + by), ∀x, y ∈ Z
14. Bevisa att det finns oändligt många primtal.
(2p)
(3p)
