2013-06-07
Umeå Universitet
Matematiska institutionen
PAB, BK
Tentamen i Algebra
Fredag 7 juni 2013
Skrivtid 9.00-15.00
Hjälpmedel: Miniräknare
Lösningarna skall redovisas så att räkningar och resonemang är lätta att följa.
Svar skall ges på en sådan form att inga uppenbara förenklingar lätt kan göras.
1. Bestäm kvoten och resten då polynomet x5 − 8x3 + 10x2 + 2 divideras med
polynomet x3 + 3x2 − x + 1
2.
(3 p)
a) Skriv talet 555555 som en produkt av primtal.
(1 p)
2449
b) Förkorta bråket
så långt som möjligt.
(1 p)
3193
c) Vilka blir de två siffrorna längst till höger, d.v.s. entalssiffran och tiotalssiffran
när man har räknat ut talet 19995 ?
Ledning: Det som söks är resten då 19995 delas med 100 eller 19995 (mod 100). (1 p)
3. Lös ekvationssystemet
x
x
3x
+
+
+
y
2y
4y
+
+
+
z
3z
5z
=
=
=
4
3
11
(3 p)
4. En klass består av 18 elever. På hur många sätt kan man välja ut ett fotbollslag bestående av
11 spelare,
a) om man inte tar hänsyn till på vilka platser i laget som de utvalda skall spela på.(1,5 p)
5.
b) om man tar hänsyn till på vilka platser i laget som de utvalda skall spela på,
d.v.s. man väljer först en målvakt sedan en högerback, o.s.v. tills alla platser
i laget har blivit besatta.
(1,5 p)
a) Bestäm alla lösningar, såväl reella som komplexa, till ekvationen
z 3 + z + 10 = 0.
(1,5 p)
z4
b) Bestäm alla lösningar till ekvationen + 1 = 0. Ange de komplexa lösningarna
på formen a + ib där a och b är reella tal. Använd också resultatet till att skriva
z 4 + 1 som en produkt av två andragradspolynom med reella koefficienter.
(1,5 p)
1 −3
3 2
6. Låt A =
samt B =
. Beräkna B · A−1 − B −1 · A
(3 p)
2
4
−2 2
(Observera att punkten betyder matrismultiplikation och att räkningarna skall redovisas i
denna uppgift. Det räcker alltså inte att bara hänvisa till vad miniräknaren ger.)
7. Bevisa med induktion att
n
X
k · k! = (n + 1)! − 1, för alla heltal n ≥ 1.
(3 p)
k=1
8. En grupp studenter gick på kårrestaurangen efter skrivningen i matematik. Några, som tyckte
att skrivningen gått bra ville fira detta och beställde in lax med lök á 137 kr per styck. De
andra valde en enkel kopp kaffe med bulle á 29 kr per styck. Notan visade att gruppen skulle
betala totalt 1700 kr. Ställ upp en diofantisk ekvation för problemet att bestämma hur många
som beställde lax respektive kaffe. Lös sedan den diofantiska ekvationen samt ange även hur
många som faktiskt beställde lax med lök respektive kaffe med bulle vid detta tillfälle. (3 p)
