TKK, Institutionen för matematik och systemanalys
Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II
Övning 2, (D=”demo-uppgift”, I=”inlämningsuppgift”, W=”webbuppgift”)
Vecka 46, 11–14.11.2008
Gripenberg
Teori för dessa uppgifter finns i Kr8: 7, 18.6–18.9, Kr 9: 8, 20.6–20.9, Lay: 5, 6.1–6.5
D1. Låt A vara en reell m × n-matris. Visa att matrisens AT A egenvärden (som är reella
eftersom AT A är symmetrisk) är icke-negativa.
Ledning: Ifall AT AX = λX så är X T AT AX = . . . och också = . . . så att . . ..
D2. Låt
0 3
A=
.
−3 0
Ge en geometrisk tolkning av funktionen X 7→ AX. Visa med hjälp av ett geometriskt resonemang att A inte kan ha reella egenvärden. Beräkna A:s (komplexa) egenvärden och egenvektorer.
T
Svar: Egenvärden: ±3i; egenvektorer: ∓i 1
D3. Låt A vara en reell m × n-matris. Visa att de av matrisernas AT A och AAT egenvärden
som inte är noll, är desamma.
Ledning: Om AT AX = λX så multiplicerar man från vänster med matrisen A. Nu är antingen
AX = 0 och då är . . . . . ., eller AX 6= 0 och då är . . . . . ..
D4. Bestäm matrisen P så att P X är den ortogonala projektionen av X på planet parallellt
T
T
med vektorerna 1 2 −2
och 1 1 1 .
Svar:
5
13
6
13
2
13
3
− 26
6
13
17
26
2
13
3
− 26
25
26
D5. Antag att man skall lösa ekvationssystemet AX = B där A är en m × n matris och man
har en QR uppdelning av A, dvs. A = QR där Q är en m × p-matris, R är en p × n matris
och det finns inga rader med bara nollor i R. Nu kan man multiplicera båda sidor av ekvationen
AX = B med QT från vänster så att man får RX = QT B.
(a) Kan man alltid lösa X ur ekvationssystemet RX = QT B?
(b) I det fall att man kan lösa X, när får man en lösning till det ursprungliga ekvationssystemet?
(c) Om man inte får en lösning till det ursprungliga systemet, vad får man då?
Returnera lösningarna till I-uppgifterna senast 18.11.2008 kl. 12 till skåp 3
Kom ihåg att skriva ditt namn och studentnummer!
−7 −5
16 17
egenvärden och egenvektorer.
T
T
Svar: λ1 = 13, λ2 = −3, X1 = −1 4 , X2 = −5 4
I1. Bestäm matrisens A =
I2. Antag att t 6= 0 och att
1
1
A=
0 1+t
−1
Bestäm en matris V så att V AV är en diagonalmatris. Vad händer med vinkeln mellan egenvektorerna och vad händer med de element i matrisen V −1 som inte är 0 då t → 0?
I3. A. Markov gick i början på 1900-talet genom de 20000 första bokstäverna i A. Pusjkins
versroman Eugen Onegin och konstaterade att en vokal följs av en vokal med sannolikheten
0.128 och en konsonant följs av en vokal med sannolikheten 0.663. Bilda en 2 × 2 matris A så
att sannolikheten för att en vokal följs av en vokal är A(1, 1), att en volkal följs av en konsonant
är A(1, 2) och på motsvarande sätt att sannolikheterna
för att en konsonant följs av en vokal
1
är A(2, 1) och av en konsonant är A(2, 2). Visa att
är en egenvektor. Vad är motsvarande
1
egenvärde? Beräkna en egenvektor för AT som hör till detta egenvärde och som är sådan att
summan av elementen är 1. Vilken information innehåller denna egenvektor?
1
√
√1
√1
1 3 1
3
3
3
√
I4. Antag att A = √16 √16 − √23 0 2 1. Lös ekvationssystemet AX = B där B =
0 0 1
√1
− √12
0
2
√
√3
6 (utan att först räkna ut matrisen A).
√
2
Ledning: Vilken uppdelning av A är gjord och hur kan den användas?
T
Svar: X = 1 1 −1 .
I5. Bestäm matrisen P så att P X är den ortogonala projektionen av X på den räta linjen med
T
riktningsvektorn 1 2 2
och matrisen Q så att QX är den ortogonala projektionen av X
T
på planet vinkelrätt mot vektorn 1 2 2 .
Svar:
1
9
2
9
2
9
2
9
4
9
4
9
2
9
4
9
4
9
8
− 92 − 29
9
5
och − 2
− 94
9
9
5
− 92 − 49
9
Webbuppgifterna skall besvaras senast 18.11.2008 kl. 12
4 3
W1. Låt A =
. Vad händer med matrisen
2 1
n → ∞ om
(a) α = 1?
(b) α = 4?
1
An
αn
då
Ledning: Räkna ut egenvärdena för matrisen A!
W2. Vad kan man säga om följande påståenden? (A är en ortogonal matris ifall AT = A−1 )
(a) Den inversa matrisen till en ortogonal matris är ortogonal.
(b) Produkten av två ortogonala n × n-matriser är ortogonal.
(c) Summan av två ortogonala n × n-matriser är ortogonal.
W3. Antag att X är en kolumnvektor i Rn×1 (med n > 1) så att X T X = 1. Vilka av följande
matriser är ortogonala?
(a) I + 2X T X
(b) I − 2XX T
(c) I − XX T
(d) XX T
W4. Låt A vara en n × n-matris. Har matriserna A och AT samma egenvärden och egenvektorer.
W5. Låt P vara en sådan matris att P 2 = P . Hurudana tal kan då vara egenvärden till P ?
